Бирациональная геометрия трёхмерных расслоений на поверхности дель Пеццо малых степеней

• Автор: Гриненко, Михаил Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 136 с. : ил.

1 Введение
2 Общие сведения о расслоениях на поверхности дель Пеццо
2.1 Модели поверхностей дель Пеццо малых степеней и расслоений
на них
2.2 Проблема бирациональной жёсткости
2.3 Перестройки слоя
2.4 О методе максимальных особенностей
3 Неособые расслоения на поверхности дель Пеццо степени 1
3.1 Конструкция
Ю 3.2 Бирационально жёсткие расслоения
3.3 Расслоения с е = 0 и щ = п2 = п3
3.4 Двойной конус над поверхностью Веронезе. I
3.5 Двойной конус над поверхностью Веронезе. II
4 Неособые расслоения на поверхности дель Пеццо степени 2
4.1 Конструкция
4.2 Бирационально жёсткие расслоения
4.3 Нежёсткие случаи
4.4 О двойном пространстве индекса
Список литературы

Глава
1. Настоящая диссертация посвящена вопросам бирациональной классификации неособых трёхмерных многообразий, расслоенных над прямой на поверхности дель Пеццо степеней 1 и 2. Сама по себе проблема бирациональной классификации относится к одной из наиболее классических задач алгебраической геометрии, над которой, начиная с середины 19-го века, работали многие математики из разных стран и разных школ. Основной же объект диссертации -расслоения на поверхности дель Пеццо - тесно связан с бирациональными теориями, возникшими в последние 20 лет, такими, как программа минимальных • моделей и программа Саркисова.
В настоящее время существуют несколько методов в бирациональной гео-< метрии, ориентированных, как правило, на решение проблемы рациональности. Это, в частности, метод Клеменса-Гриффитса [32], основанный на анализе структуры промежуточного якобиана алгебраического многообразия, и его обобщения ([29]), применяемые к вырождениям многообразий ([27], [28]). Затем, метод Артина-Мамфорда [26], где рассматривается такой бирациональный инвариант многообразия, как группа Брауэра. В середине 90-х годов появился метод Коллара, в котором доказательство нерациональности многообразия достигается спуском в конечную характеристику и рассмотрением чисто несепарабельных накрытий. Совсем недавно И.А.Чельцов [33] предложил ещё один приём, когда исходное многообразие деформируется к многообразию, бирацио-нально изоморфному расслоению на коники над линейчатой поверхностью.
Все перечисленные методы обладают своими достоинствами и недостатками, но наиболее универсальным и информативным является метод максимальных особенностей. По всей видимости, появление этого метода следует связывать с Максом Нётером, сформулировавшим и частично доказавшим результат ■ф о порождающих группы Кремоны (группы бирациональных автоморфизмов)
проективной плоскости ([43]). Сам результат выглядит удивительно просто: группа Сг(Р2) порождена бирегулярными автоморфизмами, то есть элемента-

ми Аиь(Р2), и каким-нибудь квадратичным преобразоанием. Заметим, что для С'г(Р3), хотя прошло больше 130 лет, ничего похожего пока даже сформулировать не удалось (и, вероятно, не скоро удастся).
Нётер рассуждал следующим образом. Если бирациопальный автоморфизм X € Сг(Р2) не является бирегулярным, то он линейную систему без базисных точек, например, полную линейную систему прямых С, переведёт в какую-то (неполную) линейную систему V со свойством deg'D > deg С = 1. Но, поскольку размерности линейных систем совпадают, Х> обязательно имеет предписанные базисные точки, в том числе, возможно, и бесконечно близкие. Нётер установил важный факт: сумма трёх наибольших кратностей V в этих точках строго больше степени Т>. Если теперь предположить, что эти кратности соответствуют различным точкам плоскости, то элементарные вычисления показывают, что при помощи квадратичного преобразования с центром в этих точках мы можем понизить степень линейной системы. Последовательно так действуя, мы в конце концов получим композицию квадратичныю преобразований, являющуюся бирегулярным автоморфизмом, то есть переводящую С в себя. Проблемы, возникшие у Нётера с доказательством, связаны были с исключением бесконечно близких точек, но и эти трудности были преодолены к началу 20-го века.
Ключевая идея метода максимальных особенностей, таким образом, уже в двумерном случае, на примере теоремы Нётера, выявлена: необходимо следить за базисными подмножествами "большой"кратности в линейных системах. В этом духе рассуждал и Дж. Фано (Дто Рапо), пытавшийся распространить эти идеи уже на трёхмерные многообразия. Трёхмерная геометрия, разумеется, много сложнее и богаче, но Фано выяснил, что многообразия, которые он рассматривал (как правило, они принадлежали классу, впоследствии названному В.А.Исковских многообразиями Фано), во многих случаях устроены так, что на подмножества "большой кратности"существуют очень сильные ограничения, и это либо исключало их существование вообще, либо позволяло найти подходящий бирациональный автоморфизм, как в случае квадратичного преобразования на плоскости, и "открутить"кратности, понизив степень линейной системы. Опять, как и в двумерном случае, основные трудности были связаны с бесконечно близкими особенностями. Фано сформулировал целый ряд очень сильных утверждений ([34]). К сожалению, доказательства его не отличались прозрачностью, во многих случаях до сих пор не ясно, насколько точны его рассуждения. Любопытно, что его тексты практически полностью лишены формул.
Тем не менее, многое из того, что было анонсировано Фано, впоследствии было доказано. И первой в новой истории метода максимальных особенностей была теорема Ю.И.Манина и В.А.Исковских о квартике ([11]). Им удалось дать строгое доказательство утверждения, сформулированного Фано, о том, что группа бирациональных автоморфизмов неособой трёхмерной кварти-ки совпадает с группой бирегулярных автоморфизмов. До этого и Ю.И.Манин,
Очевидно, п > 0. Предположим сначала, что т > 0. Тогда из предложения
3.2.2 следует, что х бирационален по базе, то есть У/Р1 и У'/5' имеют ту же структуру Мори. Пусть теперь т < 0. Рассмотрим отображение ф~г ° X : V —+ У', и обозначим Т>и собственный прообраз Т>' на II. По формуле (3.3.1) находим, что Т>и С |(гг + т)(—Ки) — тРу|. Так как т < 0, из того же предложения 3.2.2 получаем, что II/Р1 и У'/5" бирациональны над базой. Таким образом,
А45(У) = {У/Г1, Г//1Р1}
Очевидно, У нерационально (например, потому, что Л45(У) не содержит структур многообразия Фано), и У/Р1 и (7/Р1 единственные неособые расслоения Мори в своём классе бирациональной эквивалентности по теореме 2.3.1.
Пусть теперь х '■ ^ У бирациональный автоморфизм. Повторяя только что проведённые рассуждения с заменой У'/5' на У/Р1 и используя теорему
2.3.1, мы видим, что либо само х бирегулярно (это общий случай), либо бире-гулярна композиция ф~1 о х ■ II —■> У. В последнем случае имеем
0 —>< ф >2—> Віг(У) —> Аи1(У) —> 0,
где < ф >2 группа, порождённая бирациональной инволюцией ф. Доказательство конечности групп дословно то же, что и в теореме 3.2.1. Теорема 3.3.1 доказана.
3.4 Двойной конус над поверхностью Веронезе
Для завершения бирациональной классификации неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1 осталось рассмотреть самый сложный случай, когда є = 0, Пі = 0, п2 = 1, пз = 2. Если У/Р1 многообразие с таким набором структурных констант, то Єу изоморфно прямому произведению прямой и эллиптической кривой (лемма 3.2.4), причём этот дивизор может быть стянут бирациональным морфизмом, задаваемым линейной системой |3(—Ку)—ЗТ|, на неособое многообразие Фано, называемым двойным конусом над поверхностью Веронезе. Описание бирациональной геометрии таких многообразий удобнее начать со структуры Фано.
Пусть и неособое трёхмерное многообразие Фано индекса 2 и степени 1 (двойной конус над поверхностью Веронезе). Класс обильных дивизоров, порождающих группу Пикара, обозначим Н, біт |//| = 2, так что
Ріс(Н) = ЪН,
и выполняются соотношения Ку = —2Я и Я3 = 1. Линейная система Н имеет единственную базисную точку, которую обозначим Р.