Геометрия многомерных диофантовых приближений

• Автор: Герман, Олег Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 150 с.

Содержание
Введение

0.1 Общая характеристика работы

0.2 Основные положения диссертации, выносимые на защиту. . .

Глава 1. Обзор предшествующих результатов

1.1 “Выпуклый” подход

1.1.1 Диофантовы экспоненты

1.1.2 Теорема Малера

1.1.3 Промежуточные экспоненты

1.1.4 Параметрическая геометрия чисел

1.1.5 Произвольные функции

1.2 “Мультипликативный” подход
1.2.1 Гипотеза Литтлвуда
1.2.2 Мультипликативные экспоненты
1.2.3 Полиэдры Клейна
Глава 2. “Выпуклый” подход
2.1 Диофантовы экспоненты и принцип переноса Хинчина
2.1.1 Формулировки основных результатов
2.1.2 От ГиГк Мп+т
2.1.3 Определители ортогональных целочисленных решеток
2.1.4 Секционно-двойственное множество
2.1.5 Теорема переноса
2.1.6 Основная лемма
2.1.7 Доказательство теоремы 2.
2.1.8 Доказательство теоремы 2.
2.1.9 Частный случай п + т = 2>
2.2 Промежуточные диофантовы экспоненты
2.2.1 Экспоненты Лорана и их обобщение

2.2.2 Основные результаты для промежуточных диофанто-
вых экспонент
2.2.3 Экспоненты Шмидта-Зуммерера
2.2.4 Экспоненты Шмидта-Зуммерера второго типа с точки
зрения полилинейной алгебры
2.2.5 Диофантовы экспоненты в терминах экспонент
Шмидта-Зуммерера
2.2.6 Транспонированная система
2.2.7 Основные результаты в терминах экспонент Шмидта-
Зуммерера
2.2.8 Доказательство теорем 2.14, 2.
2.3 Неравенство Шмидта-Зуммерера
2.3.1 Основное локальное наблюдение
2.3.2 Вспомогательное наблюдение
2.3.3 Первый выбор Л и Т
2.3.4 Второй выбор Ли
2.3.5 Соображения переноса
2.4 Линейные формы заданного диофантового типа
2.4.1 Совместные приближения
2.4.2 Линейные формы
2.4.3 Наилучшие приближения
2.4.4 Доказательство теоремы 2.
Глава 3. “Мультипликативный” подход
3.1 Мультипликативные экспоненты
3.1.1 Формулировка основной теоремы
3.1.2 Следствия
3.1.3 Произвольные функции
3.1.4 Монотонность
3.1.5 ^-мерное пространство
3.1.6 Доказательство теоремы 3.
3.1.7 О равномерных экспонентах
3.2 Решетки с положительными норменными минимумами
3.2.1 Формулировка основного результата
3.2.2 Двойственные решетки и полярные многогранники
3.2.3 Равномерная ограниченность детерминантов гиперграней паруса

3.2.4 Отделимость формы ср(х) от нуля в положительном ор-
танте
3.2.5 Логарифмическая плоскость
3.2.6 Доказательство теоремы 3.
3.3 Многомерное обобщение теоремы Лагранжа
3.3.1 Формулировка основного результата
3.3.2 Доказательство теоремы 3.
3.3.3 Теорема о звезде и целочисленном расстоянии
3.3.4 Доказательство теоремы 3.
3.3.5 Трехмерный случай
3.4 Переформулировка гипотезы Оппенгейма
3.5 Полиэдры Клейна и относительные минимумы
Список литературы

a(0T) = п/т (это также следует из теоремы 2.1). Стало быть, если а (О) = т/п, функциональный порядок равномерной аппроксимации матрицы 0 в lnt раз лучше, чем то в силу следствия 1 функциональный порядок
равномерной аппроксимации матрицы ©т в 0(1п5£) раз лучше, чем £-“(ет); где
ö = ________п
m(max(n,m) — 1)
Если а(0) = +оо (что может быть только при т ф 1), то из теоремы
2.1 следует, что а(0т) ^ Но это не означает, что матрица 0Т равномерно ^"^-аппроксимируема. Мы можем лишь заключить, что для любого е > 0 она равномерно ^^^"^-аппроксимируема. Тем не менее, если удается оценить функциональный порядок аппроксимации матрицы 0, теорема 2.5 позволяет сказать нечто большее. Например, следующее.
Следствие 2. Пусть матрица © равномерно е~ь-аппроксимируема. Тогда 0Т равномерно /(t)-аппроксимируема, где
f(x) = Adm~H~^ ln(cAdt)^,
а константы с и Ad — как в теореме 2.5.
Сформулируем функциональный аналог теоремы 2.4.
Теорема 2.6. Пусть <р,ф : R+ —» М+ — произвольная обратимая убывающая функция, такая что ip(t) ^ ф(£) для всех t > 0. Положим
flit) = {(±тщ{б)ф[г)1~т)^ , f-i(t) = (сЬ2~т(р~ф;)ф~(ф)т-1)Т^ , gi(t) = {сЬ2-пщ{Ъ)ф(ф)п-1)^ , p_i(t) = {сГщ-Ц)ф-{Т)1~п)~2 ,
где d — n + m и с = y/2d(d — 1).
Пусть матрица 0 является ф-аппроксимируемой и равномерно <р-аппроксимируемой. Тогда справедливы следующие два утверждения:
(г) если fi возрастает и обратима, то ©т является (gi о fj-)-аппроксимируемой;
(гг) if /_ 1 убывает и обратима, то 0Т является (g~i о fZf)-аппроксимируемой.
Чтобы вывести из теоремы 2.6 теорему 2.4, положим ф{ф) = t~ö,