Равномерность свойства отслеживания в динамических системах

• Автор: Бегун, Евгения Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 81 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОТСЛЕЖИВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1. Постановка задачи

§2. Вспомогательные утверждения

§3. Отслеживание численных решений на гиперболическом множестве

§4. Частный случай

ГЛАВА 2. ВОЗМУЩЕНИЕ КУСОЧНО ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР

§1. Аналог теоремы Перрона для последовательности отображений

§2. Возмущения в окрестности гиперболического куска траектории

§3. Основная теорема

ГЛАВА 3. РАВНОМЕРНО ЛИПШИЦЕВ© ОТСЛЕЖИВАНИЕ ПСЕВДОТРАЕКТОРИЙ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Задача отслеживания псевдотраекторий (приближенных траекторий) в динамических системах является в настоящее время одной из активно изучаемых задач в теории возмущений динамических систем ([8], [15], [23]). Эта задача представляет интерес для развития общей теории динамических систем, а также с точки зрения теории численных методов.
Наиболее важными являются два аспекта задачи об отслеживании: получение новых условий, при которых отслеживание возможно, а также развитие методов, позволяющих оценивать расстояние между псевдотраекториями и отслеживающими их точными траекториями. Основные известные достаточные условия отслеживания были связаны с наличием у изучаемых систем гиперболической структуры ([1], [9-10], [17], [19-21], [30]).
Различными авторами было показано, что наличие гиперболической структуры обеспечивает Липшицев характер отслеживания, при котором расстояние между отслеживаемыми и точными траекториями линейно оценивается величиной ошибки (см. [23]).
Липшицев характер отслеживания особенно важен с точки зрения теории численных методов, так как в этом случае удается показать, что полученная с помощью численного метода приближенная траектория отличается от точной на бесконечном промежутке времени на величину, определяемую погрешностью метода на интервале длины 1.
В диссертации рассматриваются следующие задачи. Во-первых, изучается характер отслеживания приближенных траекторий, порождаемых одношаговыми численными методами, на гиперболиче-

есть (с/,Т)-псевдотраектория системы (0.1), если для любого г £ II |Е(*,Ф(г))-Ф(* + г)|< Пусть Л — гиперболическое множество системы (0.1). Мы рассматриваем случай, когда Х(х) ф 0,ж £ Л.
Будем искать численное решение уравнения (0.1) с задачей Коши ж(£0) — х'о (не умаляя общности, можно взять = 0).
Через X]. — Фм(о)>& = 0,1
Рассмотрим одношаговый метод точности п, то есть метод, обладающий следующим свойством: для ограниченной области
В С И8 сзчцествует константа С = С {В') > 0 такая, что если хи € В, то
Г- %к+1 ~ Н(й,ж*)| < С/г"+1 г. (0.3)
В этом случае (при условии отсутствия ошибок начальных данных и округлений) погрешность метода
— |П.(ЙЙ, Зд) %к
связана с г следующим соотношением:
Ы<-с,о<й<1,

где С — константа, зависящая только от области В и оценок на правую часть системы (0.1) [3], [7].
Тогда, если жо, £ В, то
|Хк — Е!(йй,жо)| < 0 < к < . (0.4)
Мы будем предполагать, что правая часть системы (0.1) обладает достаточной гладкостью, для того чтобы оценки (0.3), (0.4) выполнялись.
(где Ефк(цх —устойчивые (неустойчивые) линейные подпространства в точках фк{Н{х)) в точках фк'(х) и фк'(Ь(х)) берутся те Щк*(х) и ~ которые отвечают одному и тому
же промежутку разбиения).
Доказательство.
Возьмем х Е М. По теореме 2.3 существует множество К(х) — {&1,кт}, определяющие разбиение траектории 0(х,ф) на гиперболические куски ф)ф = 1,
Фиксируем 5* > 0. По нему выберем А* > 0 такое, что для любого 'ф с р1(ф, ф) < Д* < а и для у = к{х) выполняется включение
Фиксируем г, (г = 1,
Рассмотрим фк(у) при к Е к(, где А;г- Е К(х). Тогда по
теореме 2.2 кусок траектории фк(у) при к Е [&,_!, к( гиперболичен с константами (С (1 + д*)2 + 5*, + 6*, у — 28*). По теореме2.2 в каждой
точке фк(у), к Е [А;г-_1, АД существуют устойчивое и неустойчивое линейные подпространства Ефку, а — и, в размерности которых совпадают с размерностями Ефка = и, в и
£{Ефк(х), Ефк(цх) < 6*, а = и, в. (2.25)
Из доказательства теоремы 2.2 видно, что размерности устойчивых (неустойчивых) линейных подпространств Ефк(ур о — и, в диффеоморфизма ф совпадают с размерностями устойчивых (неустойчивых) линейных подпространств Ефка — и, в диффеоморфизма ф для к Е [&,_!,&,]. Значит (2.24) выполнено.
Так как мы взяли любое 1 из промежутка [1,ш + 1], то рассуждения, приведенные выше, верны ДЛЯ любого куска [&*_!, &,],*