Исследование математических моделей движения растворов полимеров с субстациональной и объективной производными

• Автор: Звягин, Андрей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 139 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Список обозначений

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1 СТАЦИОНАРНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ОПИСЫВАЮЩАЯ ДВИЖЕНИЕ СЛАБО КОНЦЕНТРИРОВАННЫХ РАСТВОРОВ ПОЛИМЕРОВ
1.1 Существование спабых решений стационарной математической модели с полной производной в реологическом соотношении

1.1.1 Апнрокснмационная задача

1.1.2 Априорная оценка

1.1.3 Существование решений аппроксимационпой задачи

1.1.4 Доказательство теоремы 1.1 Л

1.1.5 Случай с неограниченной областью

1.2 Задача оптимального управления для стационарной модели с полной производной в реологическом соотношении
1.2.1 Анпроксимационная задача
1.2.2 Существование решений аипроксимацнонной задачи
1.2.3 Доказательство теоремы 1.2.
1.2.4 Доказательство теоремы 1.2.
1.3 Существование слабых решений стационарной математической модели с объективной производной в реологическом соотношении
1.3.1 Апнрокснмационная задача
1.3.2 Априорная оценка
1.3.3 Существование решений аппроксимационпой задачи
1.3.4 Доказательство теоремы 1.3.
1.3.5 Случай с неограниченной областью
1.4 Задача оптимального управления для стационарной модели с объективной производной в реологическом соотношении
1.4.1 Апнрокснмационная задача
1.4.2 Доказательство теоремы 1.4.

1.4.3 Доказательство теоремы 1.4.

ГЛАВА 2 ЭВОЛЮЦИОННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ОПИСЫВАЮЩАЯ ДВИЖЕНИЕ СЛАБО КОНЦЕНТРИРОВАННЫХ РАСТВОРОВ ПОЛИМЕРОВ
2.1 Существование слабых решений эволюционной математической модели с объективной производной в реологическом соотношении
2.1.1 Апирокснмацнонпая задача
2.1.2 Априорная оценка
2.1.3 Теорема существования решения аппроксимационной задачи .
2.1.4 Доказательство теоремы 2.1.
2.2 Задача оптимального управления для эволюционной математической модели, описывающей движение слабо концентрированных растворов полимеров
2.2.1 Аипроксимационная задача
2.2.2 Априорная оценка
2.2.3 Теорема существования решения аппроксимационной задачи .
2.2.4 Доказательство теоремы 2.2.
2.2.5 Доказательство теоремы 2.2.
ГЛАВА 3 АТТРАКТОРЫ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ДВИЖЕНИЕ СЛАБО КОНЦЕНТРИРОВАННЫХ РАСТВОРОВ ПОЛИМЕРОВ
3.1 Постановка задачи и основные результаты
3.2 Аппроксимационная задача
3.3 Априорные оценки
3.4 Существование решений
3.5 Доказательство теорем 3.1.6 и 3.1.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Список использованных источников
Публикации автора по теме диссертации

Lp(fi)
Wp(Q)
Lp(0,T;X)
Wp(0, T; X)
®{Q,)n

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
— ограниченная область пространства М, п = 2. 3, с локально-липшицевой границей дО,.
— множество всех измеримых функций v : О. —>■ Мп, для которых конечна норма
_ Г (fnv(x)pdx)1/p, 1^р<оо,
p(fi) У ess sup |н(ж)|, р = оо.
— пространство Соболева, состоящее из функций, принадлежащих LP{Q) вместе со всеми своими обобщенными производными порядка не выше чем s.
— множество всех измеримых функций v : [0,Т] —> X, принимающих значение в банаховом пространстве X, для которых конечна норма
_ Г (fo \v(x)\xdt)1/P’ 1^Р<оо,
llvlkp(0,T;X) | ess sup ||г?(д)||х, V —

— пространство Соболева, состоящее из функций
v : [О, Г] —» X, которые принадлежат Lp(0,T;X) вместе со всеми своими обобщенными производными порядка s включительно.
— пространство функций на Q со значениями в Rn класса С°° с компактным носителем, содержащимся в Q.
= {»:«£ div v = 0}—подмножество соленоидальных
функций пространства ®(С1)п.
— замыкание V по норме пространства Х-2(^)п-
— замыкание V по норме пространства W% (fl)n с нормой
||г,||у = ( f Vv : Vvdx)1^2.

Далее заметим:
lim 771—>00 ето / V(Anm) : V (Ay?) dx = lim у/бт 771—>00 [ V(Awm) : V (Дуг) dx
J п J Q.
= lim л/е^п lim
т.—>оо т—>оо
I У(д^) : V (Аф) (1х . п
Без ограничения общности, в силу оценки (1.2.7) теоремы 1.2.4 получаем:
£т ! V (Аут) : V (А<р) йх —> 0 при т —» оо. а
Так как V вполне непрерывно вложено в ДДП)" для п=2.3, то, учитывая оценку (1 2.8), без ограничения общности можно считать, что ут —> н* сильно в Т4(Г2)п. Откуда следует, что
П »J = l

В оставшихся интегралах имеем <9(г>то)г <9V.
У"1(ц*)г('V*)iX^-dx.

3 дхг

- г1к, дхз дхгдхк

, ч 0(v.)t dVj
Q_ qI!"- dx!
3x, dxtdxk

iyjyk=

дхгдхь
d{v*)3 d2vj дхг дхгдхк

Действительно, здесь последовательность vm сходится к г»* сильно в ТДП)”, a V(tim) сходится к Vx* слабо в Т2(Я)П. Таким образом, их произведение сходится слабо к v*Vvt в
Принимая во внимание априорную оценку (1.2.8) и условия (гДДгД, мы без ограничения общности можем предположить, что существует /* € И* такое, что fm —> /* 6 Ф(щ) при m —» +оо.
Таким образом, переходя в равенстве (1.2.9) к пределу при т —» +оо