Асимптотическая устойчивость, локальная единственность и формирование контрастных структур в нелинейных сингулярно возмущенных задачах

• Автор: Неделько, Илья Витальевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 334 с.

ЧАСТЬ 1. Асимптотическая устойчивость и локальная единственность

двумерных контрастных структур

Глава 1. Теоремы существования для эллиптических и параболических

задач. Достаточные условия устойчивости

§1. Основные обозначения

§2. Принципы максимума и сравнения

§3. Теоремы существования решений эллиптической задачи

§4. Теорема существования решения параболической задачи

§5. Теорема об асимптотической устойчивости

Глава 2. Общие теоремы о существовании, единственности и асимптотической устойчивости решений сингулярно возмущенных краевых
задач
§1. Формулировка основных результатов
§2. Доказательство теоремы (2.1)
§3. Доказательство теоремы (2.2)
Глава 3. Асимптотическая устойчивость и локальная единственность
решений двумерных сингулярно возмущенных краевых задач
§1. Контрастная структура типа ступеньки в критическом случае
§2. Контрастная структура типа ступеньки в некритическом случае
§3. Контрастные структуры типа ступеньки при других условиях
§4. Контрастные структуры типа ступеньки с несколькими переходными
слоями
Глава 4. О неустойчивости двумерных контрастных структур
§1. О неустойчивости двумерной контрастной структуры типа ступеньки
§2. О неустойчивости двумерной контрастной структуры типа всплеска
Глава 5. Существование и локальная единственность двухкомпонентной контрастной структуры типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений с разными степенями
малого параметра
§1. Построение асимптотики
§2. Вспомогательная задача
§3. Теорема существования
ЧАСТЬ 2. Формирование контрастных структур
Глава 6. О глобальной области влияния одномерной контрастной структуры типа ступеньки

§1. Лемма существования
^ §2. Асимптотическое приближение решения на конечном промежутке
времени
§3. Метод параметрических барьеров
§4. Поведение решения на бесконечном промежутке времени
ф §5. Предельный переход к стационарному решению при t —> оо
§6. Глобальная область влияния (основной результат)
§7. Доказательство теоремы(6.2)
§8. Доказательство теоремы(б.б)
Глава 7. О глобальной области влияния двумерной контрастной
структуры типа ступеньки
§1. Лемма существования. Основные результаты для конечного промежутка
времени
§2. Поведение решения на бесконечном промежутке времени
§3. Предельный переход к стационарному решению при t —> оо
§4. Глобальная область влияния (основной результат)
^ Глава 8. Существование контрастной структуры типа ступеньки с
внутренним слоем, выходящим на границу области
§1. Доказательство существования решения
§2. Предельный переход при е —>
§3. Основной результат
Глава 9. Формирование контрастной структуры типа ступеньки с
внутренним слоем, выходящим на границу области
§1. Лемма существования. Основные результаты для окрестности
начального момента времени
. §2. Поведение решения на бесконечном промежутке времени
§3. Основной результат
Глава 10. Формирование двухкомпонентной контрастной структуры ф типа ступеньки в параболической системе с разными степенями
малого параметра
§1. Обобщенный метод дифференциальных неравенств
§2. Поведение решения в окрестности начального момента времени
§3. Поведение решения на полном промежутке времени
§4. Основной результат
ЛИТЕРАТУРА
В последние годы в теории сингулярных возмущений активно исследуются решения с внутренними переходными слоями. Такие решения получили название ’’контрастные структуры” [1] (далее имеются ввиду решения нелинейных эллиптических задач с малыми параметрами при старших производных, рассматриваемых в односвязной ограниченной области).
С точки зрения приложений наибольший интерес представляют контрастные структуры типа ступеньки (КСТС). Контрастная структура типа ступеньки характеризуется наличием внутренних переходных слоев (в двумерном случае это — малые окрестности некоторых замкнутых кривых, лежащих внутри области определения КСТС), в которых происходят резкие переходы решения из окрестности одного корня вырожденного уравнения (т. е. уравнения, которое получается из исходного при обращении малого параметра в нуль) в окрестность другого корня. Могут существовать также контрастные структуры типа всплеска (КСТВ), которыми принято называть решения, имеющие внутренние слои (целиком лежащие в области определения КСТВ), где решение быстро удаляется от корня вырожденного уравнения и сразу вслед за этим возвращается к этому же корню.
Впервые существование контрастных структур в рассматриваемых задачах для одномерного случая было доказано в работах A.B. Васильевой и В.Ф. Бутузова [1-4]. Результат по существованию двумерных контрастных структур типа ступеньки принадлежит П. Файфу (P. Fife) и У. Гринли (W. Greenlee) [5].
Асимптотическое разложение контрастной структуры по малому параметру можно построить на основе метода пограничных функций [1]. Для одномерных задач это сделано в [1-4,6] и ряде других работ, для некоторых двумерных задач — в [6,7]. Обширная библиография содержится в [6].
В работах H.H. Нефедова [7,8] предложен эффективный метод доказательства существования контрастных структур и оценки остаточных членов асимптотических разложений — так называемый асимптотический метод дифференциальных неравенств. Суть его состоит в том, что верхнее и нижнее решения конструируются путем модификации формальной асимптотики. Следует отметить, что из существования верхнего и нижнего решений вытекает существование, но не вытекает единственности (даже локальной) решения исходной задачи.
Важным вопросом как с теоретической, так и с прикладной точки зрения, является вопрос об устойчивости контрастных структур как стационарных решений соответствующих параболических задач (в смысле Ляпунова).
Для одномерных задач с краевыми условиями Неймана этот вопрос исследовался в работах А.Б. Васильевой [9,11,14], В.Ф. Бутузова [10], S. Angenent [12], J.
§3. Доказательство теоремы (2.2).
Пусть выполнены условия (В1),(ВЗ), и и(х,ег) (как и в §2) — регулярное решение задачи (2.1),(2.2), удовлетворяющее неравенствам а < и < р, х € С. Докажем утверждение 1) теоремы (2.2). Рассмотрим вспомогательную задачу
Аеу + £кау = Екаи(х,е), х £ Б, (2.13)
В,V — д(х), х € дБ, (2.14)
где и(х,е) — указанное выше решение задачи (2.1),(2.2) (очевидно, что и{х,е) является также решением задачи (2.13),(2.14)), а > 0 — не зависящее от е число, выбранное столь малым, чтобы при достаточно малых е функции а и /3 были нижним и верхним решениями задачи (2.13),(2.14). Покажем, что такой выбор возможен.
Используя (2.3), неравенства а < и < Р и оценку Р — а = 0(ек+1) (см. (В1)), получаем
Аеа + ека(а — и) > Аеа + ека(а — р)
= е2Мда(х, е) + ра(х, е) 4- £ка{а - Р) >
> С0£2к+1 — С1Е2к+2 — ас2£2к+1,
где Сх и Сг — положительные постоянные, не зависящие ОТ £
Отсюда следует, что при достаточно малом а и достаточно малых е выполняется неравенство
Аеа + Ека(а — и) > 0, х € Б
Аналогично проверяется неравенство Л£/3 + £ка(р — и) < 0 в Б. Тем самым доказано, что а и р — нижнее и верхнее решения для задачи (2.13),(2.14).
Согласно лемме (1.5) (см. главу 1), существуют верхнее Р и нижнее а решения задачи (2.13),(2.14) из класса С2+1/(Д), причем в Б выполняются неравенства
а<а<и<р<Р,
Аса -I- £ка(а — и) > 0, А£р + £каф — и) <
Отсюда получаем, что положительная в области Б функция
7 = Р
является решением уравнения
е2А'у + £кау — А(х,£)'у = г(х,Е), хеБ, (2.15)