Прямые и обратные задачи для вырождающихся уравнений смешанного параболо-гиперболического типа с нелокальными граничными условиями

• Автор: Сидоров, Станислав Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 139 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Прямые задачи с нелокальными граничными условиями

§1.1. Задача с нелокальным граничным условием первого рода для уравнения смешанного тина с вырождающейся гиперболической частью 22 §1.2. Задача с нелокальным граничным условием второго рода для уравнения смешанного типа с вырождающейся гиперболической частью 36 §1.3. Задача с нелокальным граничным условием первого рода для уравнения со степенным вырождением на переходной линии
§1.4. Задача с нелокальным граничным условием второго рода для уравнения со степенным вырождением на переходной линии
Глава 2. Обратные задачи по отысканию правой части уравнения смешанного типа с вырождающейся гиперболической частью
§2.1. Нелокальная задача с граничным условием первого рода для уравнения смешанного типа с одинаковыми неизвестными правыми
частями
§2.2. Нелокальная задача с граничным условием второго рода для уравнения смешанного типа с одинаковыми неизвестными правыми
частями
§2.3. Нелокальная задача с граничным условием первого рода для уравнения смешанного типа с разными неизвестными правыми частями 79 §2.4. Нелокальная задача с граничным условием второго рода для уравнения смешанного типа с разными неизвестными правыми частями

Глава 3. Обратные задачи по отысканию правой части уравнения смешанного типа со степенным вырождением
§3.1. Задача с граничным условием первого рода для вырождающегося уравнения смешанного типа с одинаковыми неизвестными правыми частями
§3.2. Задача с граничным условием второго рода для вырождающегося уравнения смешанного типа с одинаковыми неизвестными правыми частями
§3.3. Задача с граничным условием первого рода для вырождающегося уравнения смешанного типа с разными неизвестными правыми
частями
§3.4. Задача с граничным условием второго рода для вырождающегося уравнения смешанного типа с разными неизвестными правыми частями
Библиографический список

Введение
Краевые задачи для уравнений смешанного типа являются одним из основных разделов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных. Особое место занимают исследования вырождающихся параболических и гиперболических уравнений, а так же уравнений смешанного типа, которые имеют не только теоретический интерес получаемых результатов, но и практическую необходимость в газовой динамике, в магнито и гидродинамических течениях с переходом через скорость звука, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и других областях.
В последнее время в теории дифференциальных уравнений с частными производными бурно развивается направление теории нелокальных задач. Это объясняется тем, что проблемы естествознания приводят к необходимости постановки и исследования новых задач, например, математическими моделями различных физических, химических, биологических и других процессов являются задачи, в которых задается определенная связь значений искомой функции или ее производных на части границы области со значениями внутри или на границе этой области.
Нелокальные задачи для различных классов дифференциальных уравнений изучались Ф.И. Франклем [91] - [93], В.И. Жегаловым [16, 17], J.R. Cannon [97, 98], A.B. Бицадзе и A.A. Самарским [6], А.М. Нахушевым [46, 47, 48], А.П. Солдатовым [82, 83], Н.И. Ионкиным [26], A.B. Бицадзе [7], АЛ. Скубачевским [81], В.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым [23] - [25], [45], М.Е. Лернером и O.A. Репиным [38] - [40], Н. Поливановым [99, 100], Л.С. Пулькиной [56] - [58], В.А. Нахушевой [49], З.А. Нахушевой [50], А.И. Кожановым [34], М.С. Салахитдино-вым и М. Мирсабуровым [78], Л.И. Сербиной [79], Е.А. Уткиной [88, 89], К.Б. Сабитовым [69, 71, 72] и его учениками О.Г. Сидоренко [80], Ю.К. Сабитовой [76, 77], Л.Х. Рахмановой [59], [60], Н.В. Мартемьяновой [43, 44], Г.Р. Юнусовой

Таким образом, доказана
Теорема 1.1.2. Пусть функция (р(х) удовлетворяет условиям леммы 1.1.4 и выполнена оценка (1.39) при к > ко. Тогда если д(к) ^ 0 при всех к = 1, ко, то существует единственное решение задачи (1.3) - (1.6) и это решение определяется рядом (1.51); если ^(/с) = 0 при некоторых к = к1,...,кт < ко, то задача (1.3) - (1.6) разрешима только тогда, когда выполняются условия ортогональности (1.58) и решение в этом случае определяется рядом (1.59).
5. Устойчивость решения задачи
Рассмотрим следующие известные нормы:
1 !/
*(М)1к2[0,1] = |Нж,*)|и2 = и(х,г)2дх ,
/ X Ч 1/
||/(*)1к[р,1] = (у"|/(а;)|2^1 , 1КМ)Нс(0) = пюх|и(аг,«)|.
Теорема 1.1.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.1.2 и 6х(А;) у/ 0 при всех к < ко. Тогда для решения задачи (1.3) - (1.6) имеют место оценки:
||ЧМ)1и2[о,1] < С*У{х)\ыйА* \и(х’*)\с(Б) < Со\щ"(х)\с[0Д], (1.60)
где постоянные С$ и Со не зависят от (р(х).
Доказательство. Поскольку система л/2 вт тткх ортонормирована в Т2[0,1], то из (1.51) и леммы 1.1.3 имеем
+00 +оо , Ч 2 +оо 1 Ч
Нх,Щ12 = ^и(Ь) <С1^к2-2Хщ< (-4 5^Ра1^|2-(~) \тх)\12.
к=1 к=1 4 п 7 к=1 К 4 *'
Отсюда вытекает справедливость первой оценки (1.60).
Пусть (т,/) — произвольная точка из П. Тогда, используя формулу (1.51) и

лемму 1.1.3, на основании представления = -—-гг^/2 / <р"{х) впфтткх) йх и
(кк) о