Исследование условий, равносильных условию минимальности для подгрупп

• Автор: Мухаммеджан Х.Х.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1949
• Место защиты: Свердловск
• Количество страниц: 47 с.

ИССЛЕДОВАНИЕ'УСЛОВИЙ, РАВНОСИЛЬНЫХ УСЛОВИЮ'МКПЙЭМЛЬг: =:r‘s='«:i=s=3bs=c:s=22sss:ssi£ii5«sess5c:s;e:«3 5=e3s:c:« ешз есеггсгЕггггтгплзкдгггсюеге

/ 1 ■ нести'для: под iwnn.' : ■

- ОД Ех/ Теория групп с условием минимальности для подгрупп

стала разрабатываться сравнительно недавно. Одной из задач этой теории^является следующая проблема ОЛІ.Черникова /см. СИ , стр.; 355/-: не будет ли. всякая группа с условием минимальности для подгрупп обладать абелевым нормальным делителем конечного индекса? Структура не абелевых групп с условием минимальности вполне выясняется олагодаря следующему известному предложению: всякая бесконечная абелева - группа с условием- минимальности для подгрупп является прямым произведением конечной абелевой группы и конечного числа групп типа р60 по некоторым простым, числам р ,
н<в обязательно различным /см. [ - ] , § 29/. Обратно, Груней па, обладающая таким разложением, удовлетворяет условию минимальности едя поегрупп /см ■ Ш , теорема ?/.
Отмеченный -выше вопрос в общем .виде до настоящего времени остается, не решенным ла«е для случая локально конечных, групп. Однако, при некоторых дополнительных, условиях, налах/ Говорят, что.группа. удовлетворяет условию минимальности для подгрупп,;..обладающих в ней некоторті свойством У? , если всякая убывавшая :цепбчкаЧП.(ь CLto ■ - - э :>■ ", б бл а лающих этим свойством подгрупп группы. '0% , в.которой каждая

СИ.И , . ., является .истинной подгруппой.'-а (Ди-б ,

обрывается•па конечном: месте;’ /т. еї^койечное число шагов оканчивается ‘единичной подгруппой/. '1'акЕ’.например^ можно; говорить о группе, удовлетворяющей, условию минимальности для нормальных делителей и т.п.
XX-/ т.е. - группу.’ изоморфных; фактор-группе аддитивной группы |0 - ИЧНЫХ дробей по подгруппе целых чисел.
гаеыых на группы такого рода, эта задача имеет полонитеявное решение.. Так оказалось,- что каждая бесконечная группа, удовлетворяющая условию минимальности для; подгрупп к обла-г дающая возрастающим центральным рядом - группы такого рода называются специальными /см. [3] стр.117 и [ч] / - является конечным расширением некоторого прямого произведения

конечного числа групп типа /см. [!], § зз /.
Каждая специальная группа локально конечна и разлагается з прямое произведение своих силовских подгрупп /см.
J /• В свяк с этиы предложением естественно возникает вопрос о строении локально конечных ^ - .групп , удовлетворяющих условию минимальности для подгрупп.
/*У Как показал С.Н.Черников, какдая группа■такого рода является специальной группой /см. теорема 13/~. Отмеченная проблеіга- имеет такке положительное решение в случае локально-разрешимых групп /см. (1 ] , § ,31, § 33/.
В работе И.Д.Адо о подгруппах счетной симметрической группы /см.- [У] / эта проблема решается для* групп, представимых конечными подстановками. Так как абелева группа с условием минимальности для подгрупп в самой общем, случае содержит в,своем составе квазициклические группы /т.е. группы типа р** / и так как квазициклические группы не представимы конечными подстановками, то в изучавшемся И.Д.Адо случае положительное- решение указанной проблемы означало бы конечность 'этих -групп. И.Д.Адо действительно получил такой. • результат.-,1
Достигнутые за последние годы результаты в изучении групц с условием минимальности для подгрупп естественно приводят к. задаче об отыскании условий, равносильных условию минимальности для подгрупп. Некоторые из условий такого рода уже получены. .Так в работе О.Ю.Шмидта "О бесконечных специальных группах" /см. га теорема 11/ установлено, что в случае р- группы, удовлетворяющей нормализаторному условию, условие минимальности для ее подгрупп равносильно одновременному выполнению условия минимальности для абелевых подгрупп ' во всех (фактор-группах всех ее подгрупп.
С.Н.Черниковым получен следующий результат, обобщающий в разных направлениях упомянутую теорему О.Э.Шмидта: локально конечная |> - группа тогда и только тогда удовлетворяет условию минимальности для подгрупп, когда она удовлетворяет условию минимальности для абелевьк подгрупп /см. т теор.4/. ;
И.Д.Адо в работе [ показал, что для счетной локально- конечной ( р.- группы условие минимальности для подгрупп равносильно условию минимальности для нормальных делителей. Позднее И.Д.Адо /см. [ 0 ] /, а’также С.Н.Черников /см. |(03/ освободили эту теоре% от предположения о счетпос.ти группы.
Продолжая исследования С.Н.Черникова, И.Д.Адо и О.-Ю.Шмидта, автор настоящей работы показал, что в--случае группы, - обладающей возрастающим центральным рядом, условие'минимальности для ее подгрупп равносильно условию минимальности для факторов верхнего центрального ряда такой группы /см.теорему- 9/. Этот результат дает в случае групп с возрастающим центральным рядом существенное обобщение-уже упоминавшейся теоремы' (НЮ; Шмидта /см. { ф ] /. В этом случае он обобщает также и теорему ' И.Д.Адо о равносильности условия минимальности для подгрупп и условия минимальности для нормальных делителей.: