О динамических системах, допускающих голоморфный интеграл

• Автор: Сахарников Н.А.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1949
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 91 с.

о щштжш асм, допусклющх голошшый интеграл

Часть

О СУЩЕСТВОВАШМ ГСШМОВШОГО ИНТЕГРАЛА

§ I . УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ШОШРШОГО. ИНТЕГРАЛА

Вопрос о существовании независящего от времени голоморфного интеграла динамической системы представляет значительный интерес при исследовании качественной картины поведения интегральных кривых в окрестности особой, точки системы. А .М. Ляпунов ^ относительно важности и .трудности р '.:решения вопроса о существовании голоморфного интеграла замечает, например,, .следующее: "... в занимающем нас случае двух чисто мнимых корней решение вопроса об устойчивости зависит главным образом от вопроса о возможности некоторого периодического решения для системы или, если угодна, от вопроса весьма тесно с ним связанного, - о возможности для этой системы независящего, от t-голоморфного интеграла. Но,’ к сожалению, все способы, которые вообще мы можем предложить для решения этого последнего вопроса таковы, что приводят к цели только в случав, если на него должен получиться отрицательный ответ". Ляпунов указывает некоторые достаточные признаки существования независящего or"t голоморфного интеграла.

В настоящей работе даны некоторые новые признаки существования такого интеграла. .

Нижа рассматриваются только независящие от ^интегралы системы вида:

' где Л5..являются голоморфными функциями переменных некоторой области, содержащей точку ое,= -гхя-о и обращающиеся в

нуль при ОС, г.-.-васнаО.

Термин "голоморфная функция переменных: лжи, "употребляется здесь и всюду; далее в следующем смысле. Рассматривая какую либо функцию переменных мы будем называть ее по' яв
отношению к этим переменным голоморфною всякий раз, когда она может быть представлена под видом ряда, расположенного по целым положительным степеням величин зс1} по крайней мере ' для всех таких значений последних, модули которых не превосходят некоторых отличных от нуля постоянных
Под независящим от t интегралом системы ІІ) будем понимать неравную тождественно постоянной функцию Ч* сохраняющую постоянное значение на каждой траектории системы (I).
Системы вида (і) могут быть названы динамическими система- :■ ми, потому что их правые части не зависят явно от независимого переменного ~Ь
ТЕОРЕМА 1. Для того, чтобы система (I) допускала независящий ог^ голоморфный интеграл, необходимо, чтобы по крайней мере один из производных определителей ДЬ*, (эе) основного определителя Л)(ае) системы (I) обращался в нуль, при те, = о , т.е. необходимо существование такого целого положительного числа ууі , чтобы
у», (О) г о.
Для доказательства обозначим линейные члены в разложении функции В ряд по однородным многочленам через ру,*»*- • +
По определению,, основной определитель есть
Напомним определение (*) . Если в уравнение •
£_ +... + -эе V
S~l ■*
в котором ъе- означает некоторую постоянную, подставить вместо V самого общего вица однородный относительно величин

многочлен данной степени гги , затем приравнять коэффициенты при одинаковых произведениях вица х,*1'... х**'
в обеих частях уравнения и из полученной систеш -V линейных однородных уравнений исключить коэффициенты функции V , го получим алгебраическое уравнение вица
Лц " 30*, # 12, ж й IV
СД д. | . (Хгг - ЭЬ • * Я ал
& р4 ^N*2 * * ^ АУ
где суть известные линейные формы коэффициентов: £,$■ .Оп
редели гель,'представляющий левую часть последнего уравнения,. Ляпунов называет ( )-ш производным опрзцелигелем и обознача
ет через Х>„, (эе,)*
Доказывая теорему методом от противного, предполоким, что ф)м( о ) / б для всех целых положи тельных значений «V »
Убедился, что тогда уравнение
Г* —■
которому .удовлетворяет каждый интеграл оистеш (1), имеет един-. ■ сгвеяное голоморфное относительно величия Х,±...^=С*. решение ^ /тождественно равное нулю, т.е. что система не допускает интеграла требуемого характера-. Полагая в этом уравнении в частных про- :

иэвоцных ф=21 Чк* гцэ - однородные относительно велиКз»'
чин многочлен© степени к , подучаем равенство
21 О** + " + - ^ = °

Отсюда следует, что каждая из функций Ч'к должна удовлагво-рать уравнению , + ч р,к,0-^ , 0 -

Сперва убеждаемся, что этому уравнению удовлетворяет Чф ; Полученное, для ф; уравнение имеет единственное решение в виде однородного многочлена первой степени относительно величин
, что следует из рассуждения Ляпунова, изложенного в § 19 ^ 1 принимая во внимание предположение: Хф (о )^о » Этим единственным решением является Ч< = О . Затем также убеждаемся,
ЧТО фф 5 о и что все Фф могут быть только нудями.
Поэтому ф'г О и теорема доказана.

С помощью формулы (10) подучаем В о + В е = - 4 і С** с *■
(30 - Вб = Кх ('Іс + Юа)
6, +- В5 = |5і(іЯ*,г-2иЛсіг)
В, - вг г 42-Мо^,
В, =.» 4 [32о/,г-2н,г- 'іа+пс]

В>2+ Ву
Р>2 - Ву = 30 ДА^

» оі б* +°^
- 5 =

б1—о!
г, ' . ‘іу
Теперь по формуле (9) находим, что
~ г х 6-б+-«і) Вс +• +
— С с В0 + 2 (ві— ^В, + 2 а Я+■
~[і8оі + 7оі)Во - 4с8,+ ^26+іоі)Вг + Зо. В,] +
-6 а В0-■*■ ба)В,-ЙсВг^- 4ц)Б3-*-4а/8І] -+ -50.8, - (іоеі + їеі^&г. + (ю(р + 5ы.) 8у + 5а В^| +
'_4а £>г ~(С<і + Чоі)В3 +2сВу +(ІУ€+б'аг)в^ + ^а-^т] + 4-*^‘£-За 83~(гв* + За»)0у + '/с6<Г+ (І8в+>ві)ВбЗч ■[-2аВу + '(г^-2вг)Згчб-сВв]ф
8 £-а. Ву +- (е^'вг) В/]
+-Х-7
С г
+*3
+*и-
+*у
+ Х
.3 г
+- Х^
С помощью Н % находим по формула (15) §
. оіг Ґб-с()ГЗй+ с)
^ V
следовательно, для существования центра в нашем еду чае необходимо выполнение условия ■
За ч- С=.0 (18)
При условиях (15), (17) и (18) функция -3--Н§> принимает вид
в-;
гу.
Т?н? = £_ е.х"

С0 + С> - - 2ба^о/,
Со - с2 =-а (іг-+ ?>**.'-+гъ*1) с, + = (віу (2ог+Яиа'-5 9«Лг)
б, - С, = 3*г, (54а1+1*^г-Я16<)