Об ограниченности и стремлении к нулю решений линейного дифференциального уравнения второго порядка

• Автор: Гусаров Л.А.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1949
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 67 с.

В диссертации изучается вопрос об ограниченности и стремлении к нулю решений линейного дифференциального уравнения второго порядка вида

У" + р(ос)у -о (**)

Этот вопрос,, помимо математического интереса, имеет значение для приловений, ибо если все решения такого уравнения ограничены для Осмосе , то сии устойчива по Ляпунову для этих значений Если не все решения стремятся к нули, то они асимптотически устойчивы.
Диссертация состоит из трех глав. В первой глазе устанавливаются некоторые общие теоремы относительно решений уравнения (Яг#-) позволяющие затем во второй главе установить новые достаточные критерии органиченности всех решений уравнения. (*-*) при ос > ад,
/см.теоремы 10 и 10^/, а в третьей главо /теоремы Ц> и 1?*/ новые достаточные критерии стремления всех решений уравнения (*-*- ) к нулю при ОС.
В заключение выразаю искреннюю благодарность моему научному руководители в студенческие к аспирантские годы члену-корреспонден-ту'АН СССР Вячеславу Васильевичу СТЕПАНОВУ,, под руководством которого была выполнена эта работа.
ГЛАВА V.

ОБШИВ ТЕОРЕМЫ.

В 1927 году ВД1..Шепеяевыш и М.А.Лаврентьевым ^ было показано, что все решения дифференциального уравнения

У+р(*)У=0 (т)

ограничены для Ос>0 »если 2= сь^р-О и ограниченной вариации на всей положительной полуоси.
Фукухара и Нагумо^в 1930 году дали другой признак ограниченности решений уравнения состоящий в том, что решения
уравнения (Г) будут ограничены при осмоса если существует такая постоянная <9^>0. ,что с2 с1-Х, сходится.

Докажем теорему, частным случаем которой будут оба эти признака
■ Т.ео?еиа 1.., '
у Цусть в уравнении (Т ) А^кусочно-непрерывная функция,
«3? ^ > у
^№^довлетворящая условиям существования решения для эь>осо #
Если для Ос > Ха существует кусочно-постоянная функция
У (ос) > а,х > О ».сохраняющая постоянное значение С'1 на полуоткрн-

1нх промежутках ОСс ^ эс^-хуч-——— > Где 7ь<с - целое положительное число, и если
Ъу) ~ ^х)]оСос, ЯГ +

то все решения уравнения (Т) ограничены.
Доказательство.
Пусть 1оСс)^[сс1^)}[-осЛ]оаь)}.... ,[ос^,ос^)^
полуоткрытые промежутки, в которых функция ф(зс.) сохраняет постоянные значения, причем/ если в промежутке
Ц'(рс)=(С>у^/-»4° длина этого промежутка равна
0ул Ту
г - ? -
01- ‘ПСп
* где- “Некоторое целое положительное число.
Ы-Ьт/+
Для уравненияУ/' + '^МУ^О- )
линейно-независимыми решениями будут:
^ (ос.) — рг~°$1'п, Сы«('%— при ЭСы, ссЫ4.1 - •Ос^Л —ртрр'
при ос^+1 ~
Очевидно, что все решения уравнения (_# ) при Оср.ССо ограничены. Отсюда и из условия %) , в силу теоремы/доказанной
Вел ка ном ( которая справедлива и для кусочно-непрерывных коэффициентов, удовлетворяющих условиям существования решения), непосредственно следует, что все решения уравнения (Л) ограничены, что и требовалось доказать.
Очевидно, что признак Фукухара и Нагумо является частным случаем этой теоремы.
Покажем, что признак ограниченности решений, данный В.М.Шепелевым и Н.Л.Лаарэнтьевш1, такне является частным случаем этой теоремы.
В самом деле, пусть <се$о.. ., СС^ -суть нули какого-нибудь
нетривиального-решения уравнения (7), причем
Обозначим через и)[р(ос), колебание функции р(До) при
0^ ^ ос ^ , а через 0,^ и - соответстненпо
0 г / л* 1^ь ~ ^
и сгъиъ Л С31) ■ В силу тог о., что
а*й/се
С»5
ограниченной вариации ? /* 1(^>[^>С0с)) 1]

Так как при ац+1 » ю найдется
такое £■ Д , что всякое нзтривиальПример уравнения.,, имеющего неограниченные решения.
В этом примере функция %(х) , входящая в уравнение У*+^(*)У = 0 , (А)
будет иметь непрерывную проивводную _у> (^Л/ для ОС ^ О ,
(эь)] — О ,но решения (Л) не будут ограниченными.
Ос —>■у
Пусть ОСо-О , сс< з ... , . . . . последовательность чисел, определенных следующим образом;
ОС^^ОСъ-1 + %(1+ ^77) (
' Определим ..функцию ■ , полонив, "
' р(ос^) при Р/, Д -21 ^ (^У?)
' , _ - Р/х) - /- -Ж-Т пРи ^ ОС^^ +
, Тогда решение дифференциального уравнения
- :у!/Ч^(х.)у -р • (7)
удовлетворяющее начальным условиям:
У (с)-о , 'у'Со}= к>>0 г в интервале -
*»•* «•»•»« У(х)= (*)
а в интервале эс^+Ш. ^ос<с ос^1 - вид:
у(х.)=УСяи)Сеф+ (1)
из £7) имеем:
Малс.^{Щ = (/О
Из (Е) получаем: , г . н м т
ЧЖ(^Ж?+-Жй)
Отсюда { У(Ау-м)|' = ^ Г*) 0^ /7^,) .поэтому
'**■' = 1 'Пу
и>П
т.е. это решение уравнения (X) неограничено.
ЯСалЛуСП 0+-£;))=* <** , (7с)
-х;..,* >1/-»• о Образуем теперь, две последовательности чисел:
:Ж= о, Ж, А/ Ж; Ра ^ ; ^4, ^ ... (Ж
• Ад > <&,£. ■ ^,2, ;.. ,. ; Ад.,. , (А
связанных с -числами последовательности (7) соотношениями: