Предельные теоремы для процессов с условно независимыми приращениями и функционалов аддитивного типа от регенерирующих процессов

• Автор: Хусанбаев, Якубджан Мухамаджанович
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 109 c. : ил

ГЛАВА I. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С УСЛОВНО НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ § 1.1. Случайные процессы с условно независимыми приращениями

§ 2.1. Общие условия сходимости случайных процессов

с условно независимыми приращениями в топологии

Глава II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ ОСТАНОВЛЕННЫХ В МОМЕНТ НЕДОСКОКА

§ 1.2. Условия сходимости недоскоков

§ 2.2. Условия сходимости для обобщенных процессов

накопления построенных по процессам с независимыми

приращениями

§ 3.2. Явные представления для характеристической функции от процесса накопления построенного по процессу

с независимыми приращениями

Глава III. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ОТ РЕГЕНЕРИРУЮЩИХ ПРОЦЕССОВ § 1.3. Общие условия слабой сходимости одномерных распределений аддитивных функционалов от регенерирующих
процессов
§ 2.3. Общие условия слабой сходимости конечномерных распределений аддитивных функционалов от регенерирующих процессов
§ 3.3. Примеры
ЛИТЕРАТУРА

Предельные теоремы являются одной из наиболее содержательных частей современной теории вероятностей.
В работах Ю.В.Прохорова, А.В.Скорохода, А.А.Боровкова, П.Биллингслея, М.Донскера и других авторов получены общие предельные теоремы о сходимости распределений, а также условия сходимости в различных топологиях различных классов случайных процессов и полей*
Изучение предельных распределений для случайных процессов представляет значительный интерес для общей теории случайных процессов. С другой стороны, интерес к подобной проблематике вызван потребностям приложений в статистике, физике, теории массового обслуживания и теории надежности.
Одним из перспективных направлений исследований в этой области является изучение предельных теорем для процессов с условно независимыми приращениями и для регенерирующих процессов. Важные результаты в этом направлении получены в работах Б.Григелиониса, Д.С.Сильвестрова, В.В.Анисимова, Р.Серфозо и других авторов
[18-19, 21, 37, 49]
Настоящая диссертация посвящена исследованию общих достаточных
условий сходимости процессов с условно независимыми приращениями в З - топологии и слабой сходимости конечномерных распределений аддитивных функционалов от регенерирующих процессов без предположения "малости выбросов" между моментами регенерации, в схеме серии, а также изучению условий сходимости процессов, остановленных в момент недоскока.
Все результаты диссертации являются новыми. В работе получены:
- явная оценка для модуля непрерывности в топологии 3 процесса с условно независимыми приращениями;
- достаточные условия сходимости в топологии 3 процессов с условно независимыми приращениями при общих согласующих условиях

на частотные характеристики переключающего процесса;
- условия сходимости случайных процессов, остановленных в момомент недоскока;
- явное представление преобразование Лапласа от характеристической функции процесса накопления построенного по однородному процессу с независимыми приращениями;
- условия слабой сходимости конечномерных распределений аддитивных функционалов от регенерирующих процессов без предположения малости выбросов процессов накопления между моментами регенерации.
Полученные в работе результаты могут быть использованы для решения практических задач теории массового обслуживания и теории надежности, а также задач теории случайных процессов.
Диссертация состоит из трех глав.
В первой главе изучается свойство траектории случайного процесса с условно независимыми приращениями и условия сходимости в топологии У процессов с условно независимыми приращениями.
§1.1. имеет вводный характер, в нем приведены основные определения, оценка для модуля непрерывности в топологии 3 процесса с условно независимыми приращениями, доказана отсутствия разрывов второго рода у таких процессов.
§ 2.1. получены условия компактности и условия сходимости в V - топологии процессов с условно независимыми приращениями.
Вторая Глава IIосвящена исследованию достаточных условий сходимости процессов, остановленных в момент недоскока.
В § 1.2 получены общие достаточные условия сходимости процессов, остановленных в момент недоскока.
В § 2.2 изучаются условия сходимости обобщенных процессов накопления построенных по процессам с независимыми приращениями.
В § 3.2 найдено явное представление преобразование Лапласа от

торой компонента дв(-) имеет характеристическую функцию вида (1.2.2).
Тогда для любого ОС >0 P'{$(t(a)-0) = $(г(а)) или де(г(a))>a}
ТЕОРЕМА 1.2.2. Пусть при каждом £ >0 (t)= ((t), dee(t)),
Ь^О - случайный процесс без разрывов второго рода и непрерывный справа
D $еСк)> te T*=>i,(t), te Т* при £—#,
где ^ (t) =(Y(t), de.(t)), t>0 - однородный процесс с независимыми приращениями такой, что компонента де(-) имеет характери7-И
- некоторое счетное всюду плотное в [0, 00) множество точек стохастической непрерывности процесса £? (•) содержащее 0 ;
2) tim tim Р{А(£,е (■), с, Т)>5}=0, $,Т>0,
С~0 £-~0
то для любого OL&Q
t£((X) => z (а) при е — 0,
6а($е0))=>ба ($(•)) при £-~0.
Доказательство теоремы 1.2.2 следует непосредственно из теоремы 2.1.2 в силу лемм 1.2.2 и 3.2.2.
В случае, когда $e(t) = (}fs(t), dea(t)), t> 0, 6>0 - однородные процессы с независимыми приращениями теорему 1.2.2 можно сформулировать следующим образом.
ТЕОРЕМА 2.2.2. Пусть при каждом £>0 (t) эее ('б)),
t>0 однородный процесс с независимыми приращениями непрерывный справа
4е(/)=> £,(1) при £—0,