К теории корреляционной энергии электронного газа

• Автор: Кац Г.И.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1949
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 90 с.

Задача исследования движения электронов в кристалле' сводится к решению уравнения Шредингера задачи многих тел. При этом обычно вводятся следующие упрощающие допущения:
I? Ядра атомов предполагаются покоящимися в узлах кристаллической решетки.
2? Предполагается, что электроны между собой и с ядрами взаимодействуют посредством лишь кулоновских сил. Таким образом, сиин-орбитальное взаимодействие, спин-спиновое и т.п. не принимаются во внимание.
Учитывая 1°,2° , мы приходим к следующему гамильтониану:
Здесь - масса и заряд электрона, % -планковская постоянная, деленная на , Д- -лапласиан, действующий на координаты I -го электрона. Первый.плен описывает кинетическую энергию, второй V' дает потенциальную энергию решетки в месте шосождения I -го электрона и »наконец, третий - потенциал взаимодействия I -го и J -го электронов.
Весьма существенно, что УО?) имеет очевидно периодичность решетки / во всех рассуждениях кристалл мыслится бесконечным/. Должно быть еще учтено, что электроны обладают спином ~ и подчиняются принципу Паули. Поэтому должны быть взяты лишь антисимметричные в координатах и спинах электронов решения соответствуют щего уравнения Шредингера. Решение уравнения Шредамгера с гамильтонианом /1/ неосуществимо, поэтому приходится делать еще рад более или менее далеко идущих допущений.
а/. Так называемая теория свободных электронов предполагает электроны невзаимодействующими друг с другом и с ядрами.

Гамильтониан /I/ приобретает вид

Ц.Т-1.Д. /2
Обычно вначале'рассматривается іфисгалл конечных размеров /куб с ребром Ь / с условиями периодичности, наложенными на волновые функции; затем производится предельный переход 1>,М —> *** при -р =)г - плотность електронного газа фиксирована.
Решениями уравнения Шредингера являются всевозможные произведения
гр^схД...5^/51)■ • • ■
гДе .^и.О*) “ волновая функция свободного электрона

ІПІУ&5І
/3
/4
1^з/2
-вектор с целыми компонентами, пробегающими все значения
;х- спиновая функция,
*5Г- - спиновая координата і -го электрона.
Для того, чтобы учесть принцип Паули, нужно взять вместо /3/ антисимметричные решения уравнения Шредингера. Полной орто-нормированной системой таковых /в подпространстве антисимметрич-ньх функций/ являются всевозможные функции вида
/5
Подставляя /5/ в выражение для энергии Е-(Н^, Ц7)
замечаем, что энергия Е пропорциональна сумме квадратов всех —►
, поэтому низший уровень энергии получается, если определитель /5/ составлен из /V функций ^ (?Д (?*)

^..■^№2чСл).,где.
- -^г наименьших векторов

После упомянутого предельного перехода А/—9 с*о КОНЦЫ векторов V* заполнят некоторую сферу - сферу Ферми; как нетрудно убедиться, ее радиус £ и плотность электронов УЬ связаны соотношением
м /с/ .
у I = П, /6
Плотность энергии .у ,соответствующей сфере Ферми, также зависит от плотности И, и может быть легко посчитана из /2/ и /5/, ее значение:
/7
где /а - боровский радиус/.
б/. Приближение зонной теории. Здесь учитывается полностью взаимодействие электронов с ядрами и предполагается, что последний член в гамильтониане /1/ может быть учтен введением дополнительного потенциала внешних сил, обладающего периодичностью решетки. Таким образом, гамильтониан /1/ принимает вид
нг|,(-|а^) /в
где 111 -потенциал некоторого внешнего поля, описывающего как взаимодействие электронов с ядрами, так и взаимодействие электронов между собой. В соответствующем уравнении Шредингера

разделяются переменные, и мы приходим к задаче о движении части цы в заданном периодическом поле ^{(х) :
ку /9
Ввиду инвариантности уравнения /9/ относительно сдвига на постоянные решетки, решения его могут быть выбраны в специальной форме
/10
где ^ г и (х ) - функция, обладающая периодом решетки. Числа
/ С -11Х)Ь / пробегают значения меаду -
% " I

+щШ і К (Н^ /2,5/'
V N и і V, л # и У /фц р 6Чи+^-у'6
с^з/ ^9 )) Ч д
£ <>зЧ^£
^лУу/с-А*-* ■* ./ _ <
Здесь 0 6 и О р соответствуют полные записи О €у и
о /2° ,где 2° - сфера единичного радиуса. В; конце
расчета мы должны положить £ - 1 .Мы можем поэтому перед
фигурной скобкой в /2»5/ отбросить £* , а внутри фигурной скоб-

ки Ч^йТ^~ заменить просто на £ ,полагая в окончательной формуле •• ' '
^~Чтть£ /2,6
Формулу /2.5/ мы теперь более компактно запишем так:
Е=е°* іфу $*/» Я ^ - і-//и- (і>) ^л;>г«*.
і Ґ у ,
СУ і-"/1
Л' * - ., >1«
* (0 ■+ £ Ал І)] с)і * ї[Я С Ц’ <>Ь" 4 С») .+• 10г 5Г^- (<^)+
. , лум** І
>ле
+£ сііу/іл,^ Ру + £ |[ | { К Г і -с) А/І!' <•' ,4 і, у) сі суі Я /• Я я ^ у
и' ф"? . ' у
. >/. р, ■ Ч|ц*.Н’’Д+',г ■ , / і
^УуСІІ^, сЦ' -Е 2б р11{(^ і 0^+ с £)«-<■’ ^ ^^^4 ] •
' ЗдесьД|г-^. ^ Ь)'(>)■/ 14, .Явные выражения для- Д , В, А1, Р
о >6 і+^У
следуют из сравнения /2.5/ и /2.7/.
Нетрудно проверить, что
ВСрлД) = Во>, і)=/ф>/У у .МА',і)і/1(Д,с)
Я/’Ло)--Р('))|ь,НД-Я