Исследования некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений в целом

• Автор: Раисов, Мансур
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Самарканд
• Количество страниц: 110 c. : ил

Глава I - ИССЛЕДОВАНИЯ В ЦЕЛОМ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ БЕЗ

ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ

§ I. Устойчивость нулевого решения системы (1.1)

§ 2. Распределение особых точек системы (1.1)

в некоторых случаях

§ 3. Исследование в целом без замкнутых траекторий

§ 4. О глобальном фазовом портрете системы

(1.1) при /77-

§ 5. Исследование в целом одной системы

Глава II - ИССЛЕДОВАНИЯ В ЦЕЛОМ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ

УРАВНЕНИЙ В //?3

§ I. Периодические траектории системы (2.1)
§ 2. Случаи отсутствия периодических траекторий
системы (2.1)
§ 3. Исследование в целом одной интегрируемой
системы
Глава III - ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В/#*]
§ I. Периодические траектории обобщенно-однородной системы
§ 2. Периодические траектории системы (3.2)
§ 3. Об особой точке второй группы некоторых обобщенно-полиномиальных систем дифференциальных уравнений на плоскости
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ
ЛИТЕ РАТУРА

Среди важных проблем теории динамических систем видное место занимают вопросы существования (отсутствия), единственности и числа периодических решений, а также построения схем поведения фазовых траекторий в фазовом пространстве в целом. Особый интерес, как известно, представляют автоколебания, которые характеризуют периодические процессы, возникающие в различных механических электрических системах.
Вопросам существования (отсутствия) единственности и оценкам числа периодических решений, а также проблеме исследования в целом посвящено много работ £ 1-74 ].
Несмотря на многочисленные исследования по качественной (топологической) теории дифференциальных уравнений, до сих пор не существует исчерпывающего ответа на вопрос о существовании (отсутствии), максимальном числе, форме и расположении предельных циклов или периодических траекторий систем дифференциальных уравнений. Одной из фундаментальных задач теории дифференциальных уравнений является задача нахождения по возможности более простого способа построения схемы поведения семейства фазовых траекторий заданной системы дифференциальных уравнений во всей области ее определения, т.е. изучение поведения фазовых траекторий данной системы в целом. Эта задача еще далека от своего разрешения даже для систем дифференциальных уравнений вида
ференциальных уравнений, которые изучаются разными методами.
В общих чертах классификация задач, рассматриваемых в диссер-
(I)
где X (X) - вектор полином или обобщенно-однородная функция
зависимости от вида функции X(*) получаются разные типы диф-

тации выглядит следующим образом:
1. Х(Ю - вектор-полином. Исследуются:
а) поведение траектории в окрестности изолированной особой точки; б) в целом при отсутствии периодических траекторий (п=2).
2. Х(х) - вектор-функция близка к однородной Х(х) -=Хт(Х) + Хре(Х) , где X т(Х) , р*(Х) _ однородные
функции класса С ) 1 ^ _ степени однородности соответственно. Исследуются вопросы существования и отсутствия периодических решений и в целом (п=3).
3. Х(х) - обобщенно-однородная вектор-функция порядка (Г класса (?Ц, .. •,гг>п) . Исследуются критерии существования периодических решений при произвольном п
В задачах этих трех типов будем различать задачи локальные и глобальные. Локальная задача заключается в исследовании особой точки системы (I) в сколь угодно малой окрестности. Глобальная задача состоит в отыскании всех особых точек системы (I) в евклидовом пространстве /@П'{Х} и их совместном существовании.
Основным объектом настоящей диссертации будут локальные задачи (1а), 2, 3, но их изучение будет приводить нас иногда к глобальным задачам. При изучении задач 2, 3 более подробно рассмотрим трехмерный (п=3) случай. Затем полученные результаты обобщим для случая произвольной размерности /7
В дальнейшем будут использованы следующие понятия, определения и обозначения:
1) Понятие устойчивости решения системы (I) понимается в смысле Ляпунова.
2) Решение алгебраической системы Х(Х) = 0) х=х° (^) называется особой точкой динамической системы (I).
3) Вещественную функцию р(ХТ)Х2,Хп) , заданную в №

уравнение (1.55) будет уравнением Врио и Буке. При этом:
1) Если гп нечетное и СХ&ог>? > 0-1 типа,
2) Если т нечетное и а- 8ОГ)7 <0 - П типа,
3) Если т четное, то Ш или 1У типа.
Следовательно, на плоскости ХОу соприкасающаяся парабола вида
X = - у 777 (1.57)
дифференциального уравнения (1.48) будет при:
1) гг? нечетном и С?■ >0 - I типа,
2) /7? нечетном и ОС-в0,г?} <0 - П типа,
3) в случае /77четного - Ш или 1У типа.
Синтезируя, получим:
Теорема 1.13. Изолированная особая точка О(о,о) дифференциального уравнения (1.48) при будет:
1) узел, если т нечетное и С?- 6*0,Г7? >0;
2) седло, если /77 нечетное и <0;
3) открытый седло-узел (с индексом, равным нулю), если /77 четное.
Приведем несколько общих результатов, которые играют важную роль при исследовании траектории системы (1.47) в целом. Очевидно, что система (1.47), кроме начала координат, может иметь и другие изолированные особые точки, которые лежат на изоклинах нуля у К - О , где ТХ; является вещественным корнем конечного алгебраического уравнения
(?гг? с*, Т) = О, (1.58)
Изолированные особые точки имеют координаты