О структуре афтоморфизмов комплексных простых групп Ли

• Автор: Голубчиков А.Ф.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1949
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 78 с.

В ВЕДЕНИ Е
В теории групп, в частности в теории шире равных полупро-стнх групп Да,весьма существенную роль играют автопорфнне преобразования/автоморфизмы/, т.а. линейны® преобразования,сохранядь аиб коммутатор в-шгфмШте зилтядьнои группе.
Впервые вопрос об автоморфизмах полупрсотшс групп Ли был рассмотрен Г.Вейлом а 3, Картавом4,
Г.Вейль показал,что всякий внутренний автоморфизм Ь компактной полупростой группа Ли мопет.бшъ прэдстазяен в »ка-

ионической» форме:

Ь = м~16 и '(*)

где и - некоторый внутренний автоморфизм данной группы,а»главные» автоморфизмы 8> образуют коммутативную подгруппу в группе всех автоморфизмов/ /к могут быть задана в »каноническом»базисе с помощью диагональных матриц специального типа/.
Далее,,им было установлено,что то т нмеет шето,еели Ь =-регулярный автоморфизм кошшенской полупростой группы Ли,т.е. если ~Ь- внутренний автоморфизм,имеющий минимальное количество

характеристических чисел.равных 1.

Кроме того ВвЭль выясшд.что такие автоморфизмы обладают
' 9 }
проетиш-1 /линейнкми/элементарныш делителями.
Подобный вопрос о регулярных4 автоморфизмах рассматривался также Картавом.Но Картан,кроме регулярности,предполагал,что все характеристические числа автоморфизма,отличные, от 1,являются простыми/однократными/.
*/СМ./2/,СТР.378 И Т.Д./?/ СТР.139-141,ДО/ СТР.364.

Полное исследование автоморфизмов/с простими элеиеытарЕнми делителямй/конплексннх ПОЛУПРОСТНХ групп ли было проведено Ф.Р.Гантмавдром /з/.Ф;Р.ГЪятмахер установил рудоказая следующее основное предложение: •
Если характеристическому числу 1 внутреннего автоморфизма Ь полупростой комплексной группы !я ^ отвечают простеє элементарные делители.то все элементарные делители автоморфизма Ь
. с>
такш просты,« такой•автоморфизм ею вот быть представлен в форме ( X ), " Сил-, стр. С.
Кроме того,им были получены исчерпывающие результаты для внесших автоморфизмов/с простыми элементарными делителями/ комплексних полупростнх групп ли и дано »каноническое" представление таких автоморфизмов.
Указанные авторы исследовали лишь автоморфизмы комплексных по луп ростах групп ли,обяадаюшке простывай эяомевт&рншя делителями'; -

Автоморфизмы с шпростша/нелииейннми/эдвмектарннш делителями до сих пор остаются яэисслвдованными.
В настояішй та боте делается’попытка подойти к изучению указанных автоморфизмов. Здесь рассыатризается следующей вопрос:
Пусть дана матричная пояупроотая группа Лп ^ и ее пнфйни-тезимальная группа ^ .веяний внутренний ко не ч ней/кнфв кпте зи-мальнпй/автоморфкзм данной группы порождается некоторым ее элементом /и кфи ните зирлаль нш эле т нтога/, матри це й группы ^ /группы$£} Определяются элементарные делители автоморфизма,если аявест-ны элементарные делители элемента/матрицы/,порокцайдего этот
автоморфизм'
Вопрос решается полностью для четырех бесконечна! серий *
ПРОСТЫХ ГруПЛг-ЛП*' дйп ■ <^)п, Сп, ©
3 § 1 настоящей работа приводятся без доказательств и детального рассмотрения некоторые общие оведения из теории билинейно-метрических пространств,групп Ли и автоморфизмов,которими мн пользуемся.в дальввйвем*
В § 2 исследуется матричное уравнение вида
’ ддалй*-«,
где лил ■ -заданные матрицы/вообяе говору,различных порядков/,^ -искомая/в общем случае прямоугольная/матрица,т -положительное целое, число.На результаты этого параграфа опирается все дальнейшее иссяеяовашз. ■.
В §§ 3-4-5 рассматріваются инфикитезимальнке автоморфизмы унимодул'ярной- группы,группы вращений а синплектической группы.
8 § б дается схема исследования конечных внутренних автомор* физмов,указанных групп.
В заключении делаются некоторые выводы на основании сравнения результатов предыдущих параграфов. '
' ■ - Ч5~
<М/уООлр с ~ >
.°^ _. 4з у. за .р. тт (Лр рс Зр лжрр ^Лк:^ОСхди^-{ЛргЖы:^- ^‘ДСч срЛрр)}
гд© Лр(, Лр~£ '.-.матрица вида (%ъ)
Полвзуясь рассуиденияш и результатами предыдущего параграфа ,тз видим,что раесттрвваемна оператор зЛр. шает однократные элементарные делители вида
'( ррР< Щ Л; ■■., ^-/р,- ~Рр1-1)
б/пусть в рассматривав гам равенстве /4,уУ Ые -матрица
внда/^иУ, Ж.' /-матрица вида /1,иУ.В этой случае в рассматриваемом. равенстве/4,?У ОС у--^произвольная прямоугояь- . ная матрица,имеюшая 2,рг строк и столбцов.Прэдставшз О С;;' в виде*:

Же/ - і,
, У ’ х
ыу-
■■/4,8)'
Тогда соответствующее равенетво/4,7У распадается аа два:
Лир ОСг^ір = $р<- X ~ ЭС^гр Лрр.
ЛІЗСз.ц — ~
Так как здесь ■ Я/ = .о /см. /1, ІіУ п/і ,?У|тс ?Е ОС ПОЛЬ зевавши с ь рассуждениями и результатний предыдущего параграфа,кк видим,что в рассматриваемой случае оператор шэет-однократные элементарны© делителя вида:
|-Л і
(к<г- 0,г,ч,..:.. -tp.-p