К Lp - теории системы Навье-Стокса для неограниченных областей с некомпактными границами

• Автор: Боговский, Михаил Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 149 c. : ил

ГЛАВА I. Задача Дирихле для оператора сіі V в пространствах
Соболева
§ I. Явный вид решения задачи Дирихле для
оператора сііу
§ 2. Оценки гладкости решения в зависимости от
гладкости правой части
ГЛАВА 2. Начально-краевая задача для системы Навье-Стокса в неограниченных областях с некомпактными
границами
§ I. Разложение или задача Неймана для
уравнения Пуассона
§ 2. Начально-краевая задача для линеаризованной
системы Навье-Стокса
§ 3. Начально-краевая задача для
системы Навье-Стокса
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
УКАЗАТЕЛЬ ТЕШИНОВ

Актуальность темы. 1_, р -теория краевых и начально-краевых задач математической физики - важный раздел теории дифференциальных уравнений в частных производных. Развитые в работах [і] , [24] методы получения априорных Ьр -оценок стали уже классическими и позволяют сравнительно легко решать вопросы существования и единственности решений широкого круга задач в пространствах Соболева Ур для областей с компактными достаточно гладкими границами. В то же время для областей с некомпактными и пусть даже сколь угодно гладкими границами в Ьр -теории краевых и начально-краевых задач математической физики имеется значительный пробел. А именно, отсутствуют достаточно общие результаты по вопросам существования и единственности решений. Так для
классических эллиптических краевых задач вопросы существования и

единственности решений в пространствах Соболева Ур при рфх изучены только в ряде частных случаев неограниченных областей с некомпактными границами. Для системы Навье-Стокса (в том числе и линеаризованной)также отсутствуют сколько-нибудь общие результаты по вопросам существования и единственности решений в простран-

ствах Соболева Л/р при для произвольных неограниченных
областей с некомпактными гладкими границами. Более того, до сих пор оставались неизученными вопросы существования и единственности решений начально-краевых задач для системы Навье-Стокса в

пространствах Соболева Ур при даже для неограниченных
областей о некомпактными гладкими границами частного вида (за исключением полупространства).
Цель работы состоит в отыскании условий однозначной разрешимости начально-краевой задачи для системы Навье-Стокса в произвольной неограниченной области с некомпактной достаточно гладкой

границей в функциональном классе, являющемся подпространством неизотропного пространства Соболева Ур . Но этот функциональный класс, в котором задача разрешима однозначно, может и не содержать всех классических решений с конечной /_р-нормой, т.е. теорема единственности не будет распространяться на все классические решения с конечной Ьр -нормой. Для системы Навье-Стокоа это явление было впервые обнаружено в случае Дк. Хейвудом в
его работе [29]. В связи с этим целью работы является также отыскание условий однозначной разрешимости в функциональном классе, содержащем все классические решения с конечной и р -нормой, но уже для неограниченных областей с некомпактными границами специального вида.
Методика исследования. Решение нелинейной задачи раскладывается в ряд, каждый член которого является решением начально-краевой задачи для линеаризованной системы Навье-Стокса о подходящей правой частью. Существование решения (т.е. сходимость ряда) устанавливается при некоторых ограничениях на данные задачи. Изменения, внесенные в методику получения априорных Ьр -оценок, позволяют реализовать функционально-аналитический подход к решению линеаризованной задачи, т. а. линеаризованная задача рассматривается как операторное уравнение для подходящих банаховых пространств, а затем устанавливается замкнутость области значений оператора и тривиальность ядра сопряженного оператора в предположении, что область изменения пространотвенных переменных удовлетворяет некоторому условию, которое оказываетоя необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости линеаризованной задачи. Это условие состоит в том, что в некотором функциональном классе задача Неймана для уравнения Пуассона имеет решение для любой правой части специального вида. Устанавливается также разрешимость указанной задачи Неймана для уравнения Пуассона в так называемых областях с А/ выходами на бесконечность. Это позволя-

< Co_ IIF Иц^лг-) + II ~

с постоянной С0 > 0 , зависящей только от иь,р ,Л( , Яг HiVP. Из последней оценки, используя стандартные рассуждения от противного и компактность вложения Wp Lp(Sl^p) , получим
оценку (19).
Тем самым мы установили, что из (16) следует (17). Точно таким же образом устанавливается, что из (17) следует (16).
Теорема доказана.
Рассмотрим область с одним выходом на бесконечность типа со{, т.е. область -QczfR*' вида
_£ = {х = (х',ос^): хе/Р*, зсь> у>(эс')}^ (29)
где функция ^>Coc,)(Ci(lRlti)n удовлетворяет условию
ІІІУЬ 1 VfCxO) = 0. (ЗО)
І ос1! —>-с>о J
Теорема 2. Пусть Qa lRn - область вида (29), удовлетворяющая условию (30), і < р <оо , . Тогда справедливо
разложение Lp(Sl; IRK) = Ур(.£)©Q-pOl).
Доказательство. Используя преобразование Фурье и теорему об /^-оценках для мультипликаторов преобразования Фурье, нетрудно получить разложение
LF(R* ;<(!"■)=урц*)фар(1}*-) (31)
при со , Yi~^Z . А из (31), используя метод отражений,
легко получить разложение
Lf (к?; »")= У/ЮЩСпг? ) 02)
при i По предположению функция ср(эс') непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условию (30). Отображение ^,=Ф(Ъс) определим