Теоремы вложения в обобщенных классах С.Л. Соболева и их применение в кубатурных формулах

• Автор: Хамаев, Евгений Афанасьевич
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 100 c. : ил

ГЛАВА I. Теоремы вложения для обобщенных классов С.Л.Соболева 1-р(Е*)

§ I. Основные определения и представления

функций

§ 2. Полнота пространства 1/р(Еп)

§ 3. Граничные свойства функций из пространства !?&.) •••••

ГЛАВА II. Кубатурные формулы в / (£„)

§ I. Норма и общий вид функционала погрешности кубатурной формулы в 1^{£п) •. •

§ 2. Оптимальный периодический функционал

погрешности в 1^*(£п)

§ 3. Экстремальная функция и норма функ
ционала погрешности в [_ (£„)
ЛИТЕРАТУРА

В диссертации рассматриваются функциональные пространства, построенные с помощью одного класса псевдодифферен-циальных операторов. Эти пространства являются обобщением классов С.Л,Соболева [I], [2], которые были распространены на дробные индексы П.И.Лизоркиным. Различным обобщениям этих классов в последнее время были посвящены многочисленные работы (см., например) Трибель [20,], Каля-бин Г.А. [Ю], Лизоркин П.И. [ч], [в], Адамс P.A. [2ч] ,
С.Л,Соболевым в [l], [2], были введены пространства функций, имеющих все обобщенные производные порядка в , суммируемые в Lp($) . Каждая такая функция имеет представление
где - полином степени (£-0 .Множество таких
функций с нормой
1М <2>

образует банахово пространство (р • Фактор-пространство по конечномерному подпространству полиномов степени ( С.Л.Соболева нашло широкое применение в различных областях анализа, дифференциальных уравнений и вычислительной математики. Имеются многочисленные работы, в которых были даны

различные обобщения /.р (£„) для более общих пространств функций. Наиболее значительный вклад в этом направлении внесли работы С.М.Никольского [з], [&], который,

используя аппарат теории приближении целыми функциями экспоненциального типа, создал теорию вложений для классов Н , классов с доминирующей производной, весовых классов и др. Исследованию Н - классов были посвящены многочисленные работы (см. например, Бесов О.В., Ильин В.П..Никольский С.М., [б], Бугров Я.С. [д], Кудрявцев Л.Д. [il] и др.) В настоящее время построена достаточно полная теория пространств Лизоркина-Трибеля (£#) с лиувиллевсиими произволными, которая основана на приближении функций многих переменных целыми функциями экспоненциального типа, построенных при помощи различных разбиений единицы в пространствах Фурье-образов и использование теории мультипликаторов в (£„) включающей теоремы Марцинкевича, Михлина, Кальдерона-Зигмунда.
В работе рассматривается пространство типа /р (£р), построенное с помощью псевдодифференциального оператора вида

где символ однороден и имеет заданное поведение на
бесконечности и около координатных плоскостей /=о, Р ^...гп. Каждая функция ^(х) , для которой Цр/^х)^ (£„) Ц-<
и рост которой на бесконечности ограничен некоторой фиксированной степенью 1x1 , имеет представление типа (I). Множество таких функций с конечной полунормой
- <3> будем называть пространством /. (£„) . Как частный случай в этот класс входят пространства с лиувиллевскими обобщенными производными П.И.Лизоркина. Некоторые свойства этого пространства были рассмотрены ранее в работах

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению
•» У-$/и
Имеем:
// Ааи ^Ш, 1^Л- р (^е,РУУ
'Ґ1
*№,ІЖ)Ґ=
'э'-р
(используя лемму (16)
= 5ир А« (%еГЯ,ҐУ>ИУ!,Ір.(£„)Ґ* ІР% р
={*»^^¥=/іуДг/Д^/=
КІр'ІМі р
(по лемме 15) = ///5ір(Рп)Ц . Таким образом іі т ■У/і.еШ€ІРл, (£п) . то есть, по определению простран-ства 1Р£(Еп) » существует такая функция {/^ЄІрУп) , что
/) о°
Покажем, что . Действительно, ША,рУ)=
, тогда в силу леммы 3 работы [29] о сходимости средних, имеем &3(%еШ,Р'2)=(М Используя лемму 16, получим
(Ы=
для любой функции У?и так как множество $р* плотно