О топологии действительных алгебраических кривых на алгебраической поверхности

• Автор: Олейник О.А.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1950
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 38 с.

В В В л Е Н И В
шъшшштт иг- I гти—-г~ ■■ мптгшцщ
В 1876 году Харнак Мпоказал, что число' сзязшх компонент действительной алгебраической кривой порядка гь на проективной плоскости не превосходит ^(п-/)(п-я) 1.,
и построил алгебраические крише о этим максимальном числом
» I
компонент.
В 1900 г. Гильберт поставил задачу об исследовании топологической структура алгебраических кривых и поверхностей. Самым глубоким исследованием в атом направлении является работа П.Г.Петровского-"О топологии плоских действительных алгебраических кривых".£Ю. В этой работэ рассматривается вопрос о взаимном расположении кусков алгебраической кривой. В частности доказано, что алгебраическая кривая'четного по-рдяка /Сможет состоять на более чем из ■£
овалов, кандый из которых расположен вне других овалов. Отсюда следует справедливость гипотезы Гильберта о том, что кривая 6-го порядка не монет содержать 11 овалов, лежащих вне трут друга.
И.Г.Петровский дает оценку эйлеровой характеристики того множества Ма точек на проективной плоскости, которое ограничивает алгебраическая кривая четного порядка,и алгебраическая кривая вместо с бесконечно удаленно::! прямой в случае нечетного порядаш кривой. Зга указанная граница для £(М,) , т.о. разности менду нульмерным и одншоршм числами Бетти множества Мо » достигается. Ниже будет приведена полная формулировка этих результат®.
Позже были получены аналогичные результаты для аягзбраическзх гяпорпозершосгай в проективном пространстве любоВ 1891 году Гильберт исследовал топологическув структуру пространственных алгебраических кривых [?}% Ох показал, что число компонент пространственной алгебраической кривой
ил алгебраические кривые о этим дакешаяьши числом связных
КОМПОШНТ*''
В настоящей работе иссяе^ется топология действительной пространственной алгебраической кривой, заданной пересечением двух алгебраических поверхностей, или, точнее говоря, топология алгебраической кривой на алгебраической поверхности* 1 Рассматривается вопрос о взаишом расположении кусков- пространственной алгебраической кривой на алгебраической поверх-нэсте. При этом используется з частности метод, который И;ЛГ.-Петровский применял в работе [&].
Сформулируем полученные результаты Ї.
Пусть Яч[х,у,3-) многочлен степени р и ^(г, у, х) многочлен степени у относительно переменных Ху ^,Х-с действительными коэ^ицкэяташ. Через Г обозначим алгэб-раическуг поверхность в действительном трезмерзом проектизнск пространстве ( х,у, 2.,~Ь) , апродзляшув уравнением
го числа измерений 1X3^ В~]
порядка !Ь но провосходит І(п~3,)^± »осли (Ъ-Ч0ТЗОЭ, и 7$ (п-і)(п-з)+ 1 если 1Ъ нечетное» и постро-

и через X-поверхность в проективном пространстве, определяемую уравнением
Будем предполагать, что Л и У" не имеют особах точек. Пусть переознеше повэрзшостей Г и & определяет в проективном пространстве действительную алгебраическую пространственную кривую Я Мы будем предполагать, что эта кривая такие не имеет есобгзх точек»
'Обозначай через Мо замы каше в проективном пространстве шюнзства течек на поверхности Г , для которых выполняется неравенство:
^(х. сух)*о.
Через Е.(Мо) обозначим эйлерову характеристику множества Мо . Лолучеш слегшие оценки:
/т1Ф!+ №*+ Ф -Л рч+%р+Щг- ’ /1
если <7 четное, и
/£(М»]/б^р + |р/+ -1 рг- 7/у ^ ^У,Р*-^р’/г
если ^ шчетноэ, (Г означает число точек пересечения пев эр ж-остей ^ и которое предполагается конечным»
Известно, что- для эйлеровой характеристики поверхности Г имеет место оценка (д7 :
При р=1 К любом <1 , Т.0» в случае- плоских кривых, СООТЯО- I шения /1/ и /2/ приводят..’к оценкам, позученшм И. Г.Петровским в работе [к] . В этом случае Е.Г.Петровский поштропл даогочле-| т , для которых £|Н) принимает максимальное з на чаш
В дальнейшем будет приведено построение алгебраических, кривых на поверхности второго порядка, для которых соотношения /1/ и #2/ выполняются со знаком равенства.
Краткое сообщение об изложенных 'здесь результатах опубликовано в ад • . -