О непрерывных преобразованиях функций

• Автор: Максимов И.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1947
• Место защиты: Чебоксары
• Количество страниц: 127 с.

ОГЛ к Ъ I: .а. Ж И

Введшие . ... . . . . . . 1

§ 1* $реЗГГОЛШИК- ййОКбОТВ . ... . ■*

§ 2. Аксиомы о свойствах . .... - . . . . . . 6

§ 3. Процессы рК г К &~ • * • • • • V * * 8

§ 3. Постановка проблемы и условия

§ 4'* Шсдсбио, СЯШЩГЖЗВфор § «йуй№;й ... . * . 12

Глава 1» . • ... - • ... . ... . . . г ... - 18

1 1» Теоремы о преобрааоваиаях трауполытков . . .■ 18*21

§ 2* Процесс а МЯХ.ОНДЭВЙЯ СПМИЛЯЗЙТОре . . - . 21

§ 3. Пр0о5раг.е.Бйв шз; овагпшзззора и процессы £ . . 25

§ 4* Под об не треуг гш'шикрй и процессЯ 9ч $, . . . 29
§ 5. .© непрерывных ш сущвстЕОвко-воарй’стающкх (|)уш^цн.ях в * .* ♦ * ♦. * * * *■ *. ♦ » ' • 35
§ 6. Ёуйдавлеитадшда язод&т . . . . 40
ГЛАВА II. •. -. ... . .■ 44
§ 1. С функциях,-" обяада-юдвж- свойством Дарбу . - 44
§' 2. 0 чассш.но-н©.ш©.рвжик. функциях ... .. ... 59
Глава III. V • •«.■ * - ... . .. •. 53
:§ 1. Об асиватотдчэскв непрерывных функциях .. . . 63
Глава I?-.. . ..• ... . ". . - . . . .. . '76~#;&
0 тйпвчньх нрохваояпис . . . ... * » 75
Глаза У« « . . »" . .... . . * . .' * *. ^ . . . . * .90
§ 1- С функц иях.., интегрируемых: по шоеобу лоб ©га ■ Щ>
Глава Vх, 0 зошш предан од я да . . . . . - . 98
. .*•' * .. *-. . *. . . . -
Примечания
Предметный указатель ,
Указе тс ль литературы. • . / . • .

3 атом труде под заглавием "Непрерывные преобразования функций"'мы рассматриваем, только такие непрерывные преобразования, каждое аа которых вырезается функцией

Определенной на сешште д обладающей следующим
свойством: -
во-первых, аргумент ^ этой функции пробегает все действия;ель ны© числа от нуля до единицы;
во-вторых, когда С непрерывно воараотоет от О до Г, то у С*) также непрерывно возрастает от-0 до 1, причем
-('рСи~1 .. Мы. называем такую функцию непрерывной и сущэот- »
венно-возрастающей на сегменте С 0 й-I. £1^3 , преобразование, выражаемой этой функцией, называем преобразовавшем подобия сегмента С о Ий2^/ в сегмент« Сой х.6.4, вс©
ОСНОЕНые проблемы^ которые мы решаем в этом труде,, суть одного и того же тип а о даются два семейства функций,. определенная на сегменте [О1 из которых перво©'обозначается через
(77) , а второе через [Л>-) • Требуется найти для веданной функции семейства (3>_) . непрерывную а оущественно-вовраствющую функцию. . Л ~ .<£/£/ [ у (о)^.0‘, у-[£1=-4С такую, чтобы преобравованная функция / [ у &)...] принадлежа л в семейству. .(<&) о Вапрамор, решается такая проблема в том случае, корда (ой) ' есть семейство всех конечных Функций ({ху) классе 1, обладающих на сегменте.
СВОЙСТВОМ Дарбу-у в / СГ) ;есть семейство всех обыкновенных /или тачных/ производных на [0й~:Ь.^47 « Для решения поставленных в этом (-труде проблем оказалось необходимым введение понятия о треугольниках миоыеств -

i.-I« Треугольники ШОЕЭОТВ.
І. Пусть Су) есть какая-нибудь последова- .
тєльяость рациональных лиоеп* но равных друг» другу. Этой последовательности ш сопоставляем систему даожеств
cZs, eL J*
Для изучения такой оистеш очень, удобно составлять таблицы
II
4«? 71 ' Ct , >'h*e
n fi , ot*- £ 4*. ^71 > ** .> rL
У
'Jk
ffr: (УН g Щ
■Ч и >1
ив которых первую навиваем левын треуго'льникем, а вторую правым -треу гольником высоты 1Ъ , - Йа треугольников /)пе
составляем таблицу

e,*1 , 4
'%, ’ t, g* t
P Уt py< C'n ? ря y* ’ pn ■

которую называем полным треугольником высоты 71 • Нол® число ' 71 s символах /}пС,Ььп1 к- Д* & . увеличивать до бесконечности, то получаются бесконечные таблицы,обозначаемы© coûteэтственво черов Лі у 5 Д 6- и называемые соответственно левым, правым.и полных* треугольником. Когда МЫ говорим об ОДНОМ И8 ТреуГОЛЬНИКОН Лп£, iS^e }у4І і у /-то йц называем его прямоугольным треугольником. Высота треугольников Л ty Д-б и. Л> і принимается равной бесконечности. • 1 '

. ‘Таким образом оказывается совершенной дорожкой в точке 1» для функции $•- и, следовательно., точка -не
есть точка тотальной' разрывности функции ,
Из. всего только что приведенного рассуждения следует,, что если <Г есть точка тотальной разрывности функции /-/цс/, то 4 всегда имеется такой интервал имеющий точку _£• своей
граничной точкой и лежащий не сегменте I л £ эс* ^ и такое положительное число £ , что лишь для'счетного /самое большее/ мн-ев точек л етого интервала & мы имеем неравенство:
' Ц1)~£< + &>*/;$!+£ . ‘
Установив это",, обозначим, черев В множество всех точек ■ тот.ал.ьной разрьв ноет и функции ^(х) р.в сегменте Со. & -х-± gJ Имея.в виду докавать предложенную теорему от противного,- предположим, что множество. Ё . .есть несчетное. • -
Как мы уже сказали, всякой его точке ■ отвечает интервал £ и число 6 , обладающие указанными выше 'свойствами.
Мы всегда модам предположить интервал Ь длины ф-. и число £ = ф у где > и ^ суть целые и положительные числа, так как, ведь, всегда можно'уменшить- длину Є гс величину числа £ до желаемого размера. > ■ „
ч : • - • •
Таким образом, всякой точке £ множества £• отвечают де8 целых положительны: числа ри су . Но всех возможных пар целых.-чисел !>и ^ есть счетное множество.; множество; жеБ-ест-ь несчетное согласно допущению. Отсюда следует, что -у мно--жестве В имеется несчетная часть ^ такая, что для каждой ее точки оба числа (о «:^ суть одни к те ш.