О многомерных три-тканях

• Автор: Аракелян, Г.С.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 141 c. : ил

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ТРИ-ТКАНИ

§ I*. Главные расслоения

§ I. Три-шкани УДр^Ц+РК^г]

§ 2. Реализация в проективном пространстве р

Ут С

§ 3. Три-ткани УД’Ця-'г-'МЛ]

§ 4. Реализация три-ткани УЛЧСя-^ЯЛ] в Ра

§ 5. Три-ткани ’л7’[Р,с1,(Я-г>р]

§ 6. Реализация три-ткани "У[р Я ВР

ГЛАВА II. ОСОБЫЕ ТРИ-ТКАНИ

§ I. Три-ткани Лл/С1,1, Р1
§ 2. Реализация в проективном пространстве Рр+^
ГЛАВА III. ПОДТКАНИ
§ I. Подткани: три-ткани УСрД^РУг-Д]
§ 2. Подткани: три-ткани У[г(я-О,Я,*0
§ 3. Подткани: три-ткани УТРД 1я-1>Р]
ЛИТЕРАТУРА
- 3 -
Настоящая работа относится к геометрии тканей и их реализации в многомерном проективном пространстве с точностью до проективного преобразования.
Начало развития геометрии тканей можно отнести к концу 20-х годов нашего века. Первые работы в этом направлении были сделаны немецким геометром В.Бляшке и его учениками [8], [9]
В последнее десятилетие интенсивная разработка теории тканей ведется в работах советских геометров. Начало этой работе было положено в статьях М.А.Акивиса [2], [з] , [а] , [5]. Многомерная ткань - это многообразие УЙХ , на котором заданы несколько слоений, вообще говоря разных размерностей. В частности

ткань дает многообразие "Щ. с несколькими регулярными субмер-сиями на многообразия ( (слоение образованы прообразами то-чек Б этом смысле, изучение многомерных тканей оказывается тесно 'связанным с изучением всевозможных гладких алгебраических систем. Например, наиболее изучаемая теория 3-тканей размерности п. на 2п- мерном многообразии, эквивалентна локальной теории квазигрупп и луп [3] , [4], [5]. Из работ, посвященных многомерным тканям других типов, отметим следующее. Ю.И.Михайлов исследовал теорию 2-ткани (локальная теория бинарных отношений). Более полно им изучались случаи тканей размерности т и и в многообразии размерностей ш+п + тв [20], [21], [22]. Е.И.Индрупская изучала геометрию 3-тканей размерности п на 2к+ I - мерном многообразии при некоторых дополнительных условиях (неголономные 3-ткани) [23], [24].
Многие геометры сводят вопросы теории дифференциальных уравнений, по существу, к рассмотрению тканей. Например, изучение обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков на плоскости (сы.например, работы Н. В .Степанова [16], [I?]) эквивалентно исследованию 2-ткани из одномерного и п -мерного слоения на К1 + 2-мерном многообразии. Ткани из двух п.-1-мерных и одного одномерного слоения рассматриваются Ю.А.Апресяном [6], [7] , в 'основном, для П. =3,4. Это эквивалентно изучению на плоскости (ос , у ) дифференциальных уравнений порядка и -I с точностью до замены переменных сх = , у . Геометрия многообразия с обобщенным абсолютным параллелизмом, которая рассматривается В.Г.Ивановым [25] , [26] , эквивалентна геометрии специальной 3-ткани из слоений размерностей 1 , и , )Т-1на2п.-1- мерном многообразии.
В настоящей работе рассматриваются 3-ткани размерностей р ,
р+р
9 , г на Р+Я - мерном многообразии ХК, при условии, что и слои третьего семейства принадлежат слоям второго семейства.
Глобальный вариант таких тканей дается коммутативной диаграммой различных субмерсий многообразий.
Щ.4 ^^ т.4* ир
где и - канонические проекции.
Как видно из содержания диссертации, соотношения такого рода естественно возникают в геометрии.
- 50 -
г-^ _ П Я"'<: П- - СХЛ<к П Ъ 19 N
• р1.ц,. " <1>за9)
Напишем выражение (1.3.17) в открытом виде и исследуем подробно
( я,и _к ХА + Х,к к лА ч
(8е " 8еЧэг + 81г»- 8^^К
(1.3.20)
Л* к _х,к е ._ х,к ^ х.кА еV й + р Ч1,в >°*
Рассматривая (1.5.20), когда X. Ф ^ то есть 0|-*г >1 и учитывая, что формы иое , независимы получаем
_ Х,к
1.^г,б- ~°
х.к (1.3.21)
р1„и
Х,кА _ £*л,Х’к Ок/|.и 4-^01Х,к _7к/]|Х^
1,уД,6 ~Ч 1,^6: 4^1,*ц. Ч“«
Но при любых условие (1.3.21) на основе леммы I, можно
написать в следующем виде
р х,'с _ ох с к
ц ц.рв ^ Г из
Г- Х,к _ о х ГГ к
^ V, (ле.-Ь V ^ (1.3.22)
_ х.кА .* „ х,к и ХА + л х.к
Р,гм - ««Чг.4^ + 81Чг
0к ХА -X _к^
~?1'ие,?Г +