К вопросу об остатке при приближении периодических функций многочленами

• Автор: Доронин Г.Я.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1949
• Место защиты: Днепропетровск
• Количество страниц: 75 с.

§ I.. В'ВЛД 1ЕЕЙ

I.- Возниыпяя.ув.: реаулътате- требований, практики, теория: приближений .функций:, в течение: длительного; промежутка времени занималась решением' вопросов, которые могут быть охарактеризовать следующим образом*
Дана определенная . индивидуальная, ф-ция* 4^) * С другой стороны рассматриваются многочлены- степени: К
и.ЧгЬс)

1ребуется

I/; Варьируя-’ коофицнентнмн , определить

ъцгОс') так, чтобы в некотором, вполне, обусловленном, СМЫСЛв найденный} многочлен ВОЗМОЖНО: меньше- ОТКЛОНЯЛСЯ!-бы от заданной, функции*

3/ Оценить степень получ-еиного, таким образом при-, ближения *

3/ Выяснить характер изменения: этого.- приближения: в зависимости от порядка: многочлена
Возможность различным образ.ом сформулировать требование- возможно меньшего у клоке нея . заданной функции, от искомого, многочлена- привела к- созданию различного рода методов приближения'-: /интерполирование, наил.учшиз приближения^ ср.едке-ст.епеняые приближения: и т.д./*
Фундаментальные результаты в исследо-ваниях, связанных. с решением сформулированных выше вопросов принадлежат нашим, еоотечеетвенникам, среди; которых, мы назовем
имена П.Л;Чебышева, Б.-ИиЗолотарева',: Я*И*.Коркина, братьев АЛА* и;. ЗЛ* Марковых и С...Й. Бернштейна*
Наряду с постановкой вопроса, приведенной' выше, уже: с. начала XX столетия- в- теории приближения-функций начали ставиться* задачи* в которых- требовалось получить оценку приближения- не ДЛ Я ОДНОЙ индивидуальной-- ф“ЦЕЕ, а для целого- класса- ф.-цкй /аналитических, удовлетворяющих условию. Липшица, диффере.нцнруешх и т.д./,. при данном методе: приближения.
■ Первыми работами этого направления было: установлено наличие- тесной связи между дифференциальными свой -•• ствами функций изучаемо г оп класса ж порядком убывания приближений: при возрастании а
Однако., характер этой- зависимости был выяснен окончательно: лишь- благодаря замечательным: исследованиям* проведенным,наряду с другими математики, нашим современником- и: соотечественником С *£. Бернштейном в 1910-1912 г одахі
Ос об з к но ог ромнь’Н размах и развитие, связанные с подъемом: и расширением научной дея.тельности в условиях нашей страны-, приобретают исследования в области теории приближения функции1 в период после Великой Социалистической Революции.
Для атог о .периода характерно- возникновение многих. новых концепций в- п.о.ст.ановке. проблем теории-: приС ■* ■* "
б.л имения ' функций.
2.. В первом десятилетии- нашего, века теория приближения- функции обогатилась рядом .результатов,, дающих для важных классе в функции: порядок убывания верхних
граней уклонения-функций, от. их приближений:.
| г 1 / ("^ х
'Гак, для кл-ас.са К.М периодических, периода , - функций, удовлетворяющих условию- Липшица степени- X (04^.41) с константой-. & , в случае. НаИЛуЧШ.ИХ приближений: Е„ (£)=&дпл.а.*с1 £{<)-1и,Сх)~ ,
5). у а- было установлено; су щ.ест во ва; ниэ константы С , удовлетворяющей.неравенству
'-Ьг^р Еи ({) 3
( а к Н
Н . 1с&с5ч^ " У1’ принадлежит аналогичный результат для класса- к>1Л/^х) функций периода-. , имеющих
производную- порядка X ,. по абсолютной величине не превышающую; константу К- в случае приближения;-: три:-гокопетрияе.окими. многочленами 0>(1<Хх) с равноотстоящими. узлами, интерполяции*
Именно.:.

Оценка, связанная:: о классом: , в случае
приближения суммами Фейера --Х Ц> ^ принадлежит С.Н* Бернштейну и выражается- неравенством:
хIОбозначениа классов функций- и методов приближения мы заимствуем из: работы С.М..НикольскогО: /4/.
42-
"5^ I (& Х) 1 - is^ (и++) * | Jb> + o(h~u)
v 1 TP
ки^
переписав которую в форме
Su^> I £0) - 5И - I -Sm (h+ijx-l £и fО
4 é ic н(oi>
где. £ъ(€) ' равномерно: относительно; $ ^
<4. - абсолютная- константа, мы полупим
jif i f-ы -S,«,*) i .< (ut4)x ito fоткуда при. Ь^> сг> следуете
&V &-и,р ) -Д/rxJ — _Sh -5 I $ги 6i+'t):x-l
■1 &t>C, VI J)
л> -
Vvva? p о vj -yw-^ £-p Vvcp C~vVt-^p C/l-w^ С fVHi vi^5
Cj L? vC VL^i (?L.VVUt7vT ^ ^Vvw члл "Vl V> X<-X'p с /П. Ц
§' 4. ПРИБЛИЖЕНИЕ СУММАМИ ФУРЬЕ ФУНКЦИИ,
Удовлетворяющих, условию, липшщи
I-. Пусть* с.но.-ва. к~Н ^ (р < ^«М J
обозначает класс функции перпода Ззг . ,. удовлетворяющих условию. Липши—
да степени оД с- константой: и _S^ (V,^J — значение. суммыгФурье; Vu -го порядка функции -}- в точКв :Х1 - /4
В цитированной уже работе ■ показано-',, что. в
случае %
о(н( , /
.^.vp I - 5„(£х) I - -i-Hf -— .—Ahiif'Jnbti+Olii
f £ K4W f6H" -Л"
I r ^cL> J?
где Ну есть класс функции т » определенных В
интервале fo, jy) и. удовлетворяющих условию г
i(o).o IfU1)-/toi * /Д-/Г о i Pto S-