Геометрические построения с помощью некоторых простых средств

• Автор: Никулин Н.А.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1949
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 111 с.

З " Началах" Эвклида, как известно, единственными средствами построения были признаны линейка и циркуль,
Но так как эта книга в течение более двух тысяч лет служи-ла основным источником, откуда черпались знания по математике, то это,повидимому,и послужило поводом к тому, что под геометрическими построениями стали понимать построения, выполняемые только линейкой и циркулем. Хотя и до настоящего! времени есть сторонники этого традиционного взгляда на геометрические построения,тем не менее его елец ует признать !

уже устаревшим. Практикой выдвинут целый ряд новых интерес- ;

• ' * _ | ных приемов решений геометрических задач, основанных на

применении других чертежных средств. Это нашло соответст- ■ ствующее обоснование в теоретических работах,относящихся к этому вопросу. Поэтому в настоящее время решение юпроса об области примене-н-ия каждого из употребляемых средств решения, является одной из основных задач теории геометри-ческих построений.
В конце ХШ столетия ( в 1797 году ) Маскерони ( А(04) опубликовал работу, носящую название:
" д. упіігіа. Qjmpa.Ho »| з этой работе он доказал, что любую геометрическую задачу, разрешимую циркулем и линейкой^можно решить и при помощи только одного циркуля. : Несколько позже французские геометры стали заниматься решением задач с помощью одних прямых линий. Из них в первую очередь следует указать Ламберта и Врианшсна, Но наибольшую известность »и дальнейшее развитие такого рода построения получили после появления в 1833 году книги Штейнера ( Моіп ел. ) > названной км " <0/^ Л!о»Иы/:~

"І І О пей., Сси^с/Мліі Ми ^ и а. Мен. £/е*ие шні ,4/а« " .

В этом сочинении рассматриваются построения, выполняемые

проведением одних прямых, когда в плоскости чертежа дан или лараллелограм, или квадрат, или круг ( вместе с его центром ). Самым главным и замечательным в книге Штейнера является доказательство того, что любая геометрическая задача, которая разрешима с помощью циркуля и линейки, может быть решена с помощью одной только линейки, если пользоваться постоянной окружностью ( вместе с ее центром). Кстати заметим, что основная идея здесь заимствована у Понсле ( 7г си{С ' рьор-члеС~И Г'' ?,
Кроме того, многие из построений, приведенных в сочинении Штейнера, встречаются уже у Ламберта ( Лат£ел.1) Лае. (Р&14реЫ;1Т£. ) .
Развивая в дальнейшем идею использования при построениях данных геометрических об’ектов, Корт ум и Смит пришли к утверждению что всякая геометрическая задача третьей и
четвертой степени разрешима с помощью линейки, циркуля и
1
постоянного конического сечения, отличного от круга.. '

В работе Адлера " Лс Вил. .
^четт* и -и4&1 яЯа-г/Я'шкПЖЛцсОдеп
( ГШ'(£&гел. Ля и е/ еиъ~,
задача третьей и четвертой степени разрешима с помощью двух прямых углов . „
В диссертации Фельдблюма ( 7М1<т) ■' •&.«-
щ .>1 {.а ‘I .? к;/! Лг...:/ « " Ц,'г реОрИЯ ПОСТррвНИЙ, ' БЫЛО Лняемых проведением одних прямых линий и пережением
1/ Названия сочинений указанных, авторов см,в конце в списке литературы: (1в; и (18).

отрезков. Эти построения, между прочим, играют особую роль в книге Гильберта " Основания геометрии" (Петроград, 1.923 ).
Сравнительно недавно вновь возник интерес к
' ■ ■ ■ • : ■■■ '■ ' , j
построениям Штейнера, Наш советский математик проф.Мордухаи-Болтовской показал ("О геометрических построениях с помощью линейки при условии, что паю, неизменная дута, круга с центром”), что для решения каждойtзадачи второй j степени, проведением одних, прямых можно ограничиться вычерчиванием не всей окружности, а сколь угодно малой s ее дуги. Во второй своей работе " 0 штейнеровских ло-строе ниях на сфере" ("Мат ематя ческий сборник", т.42, стр* 535-545 ) он доказал, что все построения второго порядка на сфере можно выполнить путем описания больших кругов ( т*е. радиуса в 90° ), если пользоваться постоян- 1 яым малым кругом или сколь угодно малой его дугой -С вместе’ с центром ).
В статье Кглиша, напечатанной в „ fttJfäk
Und /i/ut-M-W-n 'kn{елч.< cid: " $ приведено доказательство возможности решения при определенных условиях любой геометрической задачи третьей и четвертой степени с помощью
" •' i
циркуля и прямого угла. Это утверждение было впервые доказано Вибербахом.
Настоящее небольшое исследование касается вопроса
0 разрешимости геометрических задач с помощью некоторых простых средств ( произвольный угол, двухсторонняя линейка, два произвольных угла, произвольный угол и двухсторонняя линейка и др.). В нашу задачу входило,главным образом, установление того, какие геометрические задачи
1 / Перевод статьи помещен в журнале "Математика и/физика
в школе" ( см. список литературы )*
случае геометрическую задачу выше второй степени. Темо не -» менее эо многих случаях нам приходится решать задачи выше 1 второй степени /например, деление угла на три равных части, :

деление окружности на произвольное чифлоучастей н т.д./.Это :
... ;
ставит нас перед необходимостью найти способы решения таких задач,хотя бы третьей и четвертой степени. Первым шагом1 в направлении следования этого вопроса должно бать комбинированное применение двух простейших инструментов. При этом,что весьма существ енно, должны быть сохранены основные ' операции з тих инструментов,т.е. комбинированное применение двух каких-либо инструментов, в основном, должно базировать! ся'на тех же операциях с внесением в них некоторых коррективо/г.
Очевидно, с падощыэ двух / и больше/ циркулей и'линейки нельзя разрешить поставленные здесь задачи.
Е самом деле, каждая построенная этими чертежными средствами фигура ,состоит из прямых и окружностей. Отнесем: такую фигуру г: прямоугольным координатам, взятым в ее
плоскости. Тогда координаты точки пересечения каждых двух

прямых будут получаться из уравнений первой степени, а координаты точек пересечения прямой с окружностью или двух окружностей - при помощи квадратных уравнений. Оле-. довггельно,нак бы.ни было сложно построение, мы не выйдем из области уравнений первой и второй степени. Другими словами, координаты всех точек будут выражаться через ' координаты данных точек с помощью рациональных операций : и извлечения квадратного корня. Откуда следует справедливость высказанного утверждения« Это,очевидно, будет