Исследование специальных классов операторных дзета-функций

• Автор: Нарзуллаев Х.Н.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1949
• Место защиты: Самарканд
• Количество страниц: 44 с.

Глава

Примеры тождеств'- типа Ламберта

Глава II

Приложение функционального уравнения для операторной дзета-функции

В настоящей работе мы доказываем ряд арифметических и аналитических тождеств с помощью метода операторной дзета-функции,предложенного за последние годы проф.
1
Н.П.Романовым ' . В целях сравнения этого метода с методами, известными ранее,мы решили,помимо тождеств,до сих

пор не встречавшихся в литературе,этим способом доказать

несколько тождеств известных ранее. Намеченное нами изложение начнём с краткого описания метода операторной дзета-функции.
Пусть дано семейство функций Г ,заданных на любом > множестве вещественных или комплексных чисел и посяедова-
; -6 тельносгь дистрибу.тирных функциональных операторов
1 5э
1>1 1^ , от ображающих семейство функции /Г само на себя,причём эти операторы обла-

дают свойством
названным Н.П.Романовым М - свойством.
( - предполагается тождественным оператором).
1/н.п. Романов."Применение функционального анализа к вопросам распределения простых чисел".
Известия Научно-исследовательского института математики и механики при Томском Государственном университете им.Куйбышева.
Или н.П.Романов."Однопараметрические операторные группы и полугруппы и новые методы’ теории простых чисел,основанные на их рассмотрении".(Рукопись).

Как показано Н.Д.Романовым примером такой последовательности операторов могут служить операторы
(сх) = , где. функция взята из множества всех функций в области (—<=*»
и /2. , любое из целых положительных чисел. Легко
проверить выполнение обоих указанных требований.Принадлежность функции $Сх) и одному и тому
же семейству (иначе говоря эквивалентность условий /б0€ Г' и £ Г ) очевидна.
Из.преобразования
.Ц (и М=к**)=к***)=Lии,
Еытекает второе требование ^^ ^ = .
Из данной последовательности операторов, обладающей 1-свойством, можно получить и другие последовательности, обладающие тем же свойством. Например, если
последовательность операторов )
обладает 1-свойством, то оператор . /_,и = ,
где характер Дирихле по модулю К, также
обладает М-свойством. (Выполнение условия ре*) £ (Г для множества р" ,влечёт за собою выполнение условий ‘ ')Ци)У^<)£ !? ).
Н.П.Романов в вышеуказанной работе рассмашри-