Фундаментальные решения уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами

• Автор: Голубева, Валентина Алексеевна
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1963
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 85 с. : ил.

Содержание
Введение.

Глава I. Свойства функции Ь(*'%) в вещественной плоскости зс, у

Вывод формулы для фундементельного решения.

Конструкция функции

Теореме о локальной аналитичности функции ЕИх,^. Глава П. Поведение функции £/х,ч) в окрестности

особых точек кривой Г//1 у) -О

Введе виє
X, Рассмотрим решение линейного уравнения в честна производных с постоянными вещественными коэффициентами с тремя независимыми переменнши

«//?,. 4- к. -Р*-)•>'

где //Ц,///У - однородный неприводимый полином степени м 'гЦ , удовлетворяющий условию: Я [).
функцию <£/*" Мальгрэнж доказал существование фундаментального решенщ для произвольного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами />7 , однако, конструкции фундэментэльно-
го решения он не дал. В случае, когда неприводимая алгебраическая кривая с/А/Д 1) ~0 не имеет вещественных особых точек, формулы для фундаментального решения впервые были получены Цейлоном [11 . В.А.Боровиков показал, что
Фундаментальное решение является локально аналитической функцией во всех точках пространства Я5 , исключая точки характеристического конуса операторе /
А7 • Ему принадлежит твкже исследование поведения фундаментального решения в окрестности обыкновенной точки характеристического конуса оператора./.
2. Цель настоящей работы - построение фундаментального решения в случае, когда алгебраическая кривая 1)=
имеет простейшие особые точки. Мы покажем, что и в этом еду-
,ав 4тщм К*'* лслльло ваэлитическсй

функцией во всех точках пространстве Л , исключая точки характеристического конуса ХЛ^/^г) ~ о оператора Л 1*/] . Затем мы приведем исследование функции
в окрестности особых точек характеристического ко нуса оператора Л в случае, когда неприводимая алгебраическая кривая *) - О имеет
простейшие особые точки /особые точки второго порядке /£/ , Случай, когда алгебреическая кривая Л/4^, /Л- 3. Опишем вкратце метод исследования функции £/уф 2Л в окрестности точки характеристического конуса ЛСЛ^/^гЛ оператора Л . Цейлону принадлежит следующая формула для функции ^Л №•
А'ЧУ/^
интегрирование в каждом члене суммы производится по алгебраической кривой Л[с/(Л, от некоторой фиксированной
вещественной точки до точки пересечения этой кривой с прямой ы.х ■+/*#+* 'О » координата /Ьу//<#,2Л которой
- один из т- корней следующего алгебраического уравнения:

удовлетворяющая условию; А/о,о)с у, и =нУ' у/щ) - аналитические и аналитически обратимые функции переменных
Ъ/и, yJ I
в окрестности точки (**/#«) , и такие, что 2/> у)! -
Таким образом, в новых переменных и, у локальное урев-нение кривой Г/*'#}* о примет шд;
Р/Ъ, у)-о
Для получения разложения функции А А*.#) в окрестности точки им будем использовать формулу
/32/;
интегрирование в каждом члене суммы производится по алгебраической кривой @(<У(р) ~о , пределы интегрирования -
координаты д. А,у) и А А точек пересечения этой кривой с прямой /-/=<> »в каждой облас-
ти плоскости ^у , на которые ее разделяет кривая Г* суммирование распространяется на комплексные корни уравнения
/29/ О)/ рА=°
б положительной МНИМОЙ частью при ЛтО / при * <о с отрицательной мнимой частью/; в области, Ь которой ко ре нь А (*<$) ко мпле ксн ый, ^ /*,#)}7У7р) ■ в области, в которой оба корня а у} и ^ //,<УА
вещественны, значение соответствующего интеграла суммы определяется по непрерывности.
В окрестности рассматриваемой точки (&,£,) все член: суммы /32/ оказываются аналитическими функциями, исключая