Геометрия гладких гиперповерхностей в проективном пространстве

• Автор: Америк, Екатерина
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1997
• Место защиты: Лейден
• Количество страниц: 53 с.

1 Введение •

2 Предварительные сведения

2.1 Теорема Барта-Ларсена

2.2 Оценки типа Кастельнуово

2.3 Структуры Ходжа

3 Подмногообразия коразмерности два

3.1 Подмногообразия малой степени

3.2 Многообразия, содержащиеся в квадрике

3.3 Очень общие гиперповерхности большой размерности

3.4 Кривые на очень общей трёхмерной гиперповерхности

3.5 Приложение

4 Гипотеза типа Нётера-Лефшеца
4.1 Предварительные соображения
4.2 Трехмерные многообразия Фано
4.3 Квадрика
4.4 Некоторые замечания
4.5 Кривые малого рода
4.6 Добавление
5 Некоторые дальнейшие вопросы
5.1 Вопрос о кривых на гиперповерхностях
5.2 Морфизмы многообразий с циклической группой Пикара

Глава
Одним из классических фундаментальных результатов комплексной алгебраической геометрии является теорема Лефшеца о гиперплоском сечении:
Теорема 1.1 (Лефшец) Пусть X - гладкое проективное многообразие размерности п и Y - гладкое гиперплоское сечение X. Тогда естественное отображение
},:1Г(Х, Z)^Hi(Y,Z)
является изоморфизмом при г < п — 2 и иньективно при i = п — 1.
Следующий факт получается как простое следствие этой теоремы:
Если X - гладкая гиперповерхность в РП,п > 4, то любое подмногообразие X коразмерности один - полное пересечение.
В самом деле, по теореме Лефшеца
Н2{Х, Z) “ Я2(РП, Z).
Из точной последовательности ограничения
О —^ Орп(—X) —► Орп —^ Ох —^ 0 *
получим Н1(Х, Ох) — 0, так что Ргс(Х) = Ргс(Р"). Поэтому каждый эффективный дивизор на X принадлежит линейной системе Ох{п) для некоторого п > 0. Снова из точной последовательности ограничения получается, что отображение
Яс(Р", Ор*(п)) -+ Н°(Х, Ох(п))
сюрьективно , то есть любой эффективный дивизор на X высекается эффективным дивизором на Рп.
Более того, Лефшец доказал следующую теорему , формулировка которой принадлежит Нётеру:

5.2. МОРФИЗМЫ МНОГООБРАЗИЙ С ЦИКЛИЧЕСКОЙ ГРУППОЙ ПИКАРАМ
морфизм
ф : (1с/Т2сУ -> (Xd/Z2)*|c = Оо(т) Ф 0„(-га)
(где m - такое, что }"{Ну) = тНх, где Я* - обильный порождающий Ргс(Х)) должен быть изоморфизмом в гладкой точке D. Имеется сюръективное в общей точке отображение
ф : Тхс -> (Zc/22)*.
Так что, если г - такое число, что Тх{г) порождается глобальными сечениями ( здесь под сдвигом на г подразумевается, конечно, сдвиг на iHx), отсюда видно, что лп не может быть больше г. Разумеется, такое г существует, и это доказывает первую часть гипотезы в нашем частном случае. Более того, г зависит только от дискретных инвариантов X и может быть вычислено следующим образом:
Пусть А - очень обильная кратность Нх. Некоторая линейная подсистема сечений А задаёт вложение трехмерного многообразия ХбР7. Имеем
ТХ(КХ) = А2Пх.
A2QX - фактор расслоения A2fiP?х, и из этого легко выводим, что Л2Пх-(ЗА) порождается глобальными сечениями. Так что ТХ(КХ + 3.4) порождается глобальными сечениями, и достаточно взять г таким, что Кх + ЗА = гНх. Такое г вычисляется в терминах дискретных инвариантов X ( нужно понять, какая кратность Нх очень обильна, а это вычисляется is very ample, вычисляется в терминах дискретных инвариантов (см. [Dcm], где содержится много результатов такого типа.) В нашем простом случае, когда X - гиперповерхность степени d, можно положить i равным d — 2, так что снова получаем, что непостоянное отображение между кубиками - изоморфизм ( наше тп равно единице). Можно также легко показать, что отображений из квартики в кубику не существует: в самом деле, тп должно быть равным единице или двойке, но если / : Х —¥ Х3 - морфизм, то deg(f) = а это - не целое число при m = 1,2.
Аналогичные соображения работают для многообразия Фано X индекса -2 ( с циклической группой Пикара), при условии, что поверхность, заметаемая (-1,1)-прямыми на нашем многообразии Фано, имеет достаточно большую степень, а также для многообразия Фано X' индекса 1 , на котором достаточно большую степень имеет поверхность, заметаемая прямыми . Конкретно, эта поверхность должна содержаться в линейной системе | — 2Кх + А|, где А обильно (соотв.
| — 2К'х + А, А обильно). Мы надеемся вернуться к этому вопросу в нашей следующей работе.
Если Y - достаточно общая трёхмерная квинтика, то ограниченность степени морфизма / : X —¥ Y можно доказать похожими рассуждениями, используя тот факт, что на общей квинтике в Р4 лежит бесконечно много гладких рациональных кривых ([С]). (Вполне возможно, что это верно и для других многообразий