Особые гиперколеровы факторы

• Автор: Каледин, Дмитрий
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1995
• Место защиты: Кэмбридж
• Количество страниц: 37 с.

данного гиперкэлерова многообразия. К сожалению, твисторные пространства обычно не кэлеровы. Чтобы обойти эту трудность, в разделе 3 мы строим открытое покрытие нашего мяогобразия кэлеровыми пространствами Штейна, инваринатное относительно действия группы. Затем, в разделе 4, мы доказываем нашу главную теорему. Наконец, в разделе 5 мы строим на факторе некоторые другие структуры, существования которых естественно ожидать от особого гиперкэлерова многообразия. В диссертации нам потребуются некоторые факты об относительных дифференциальных формах; соответствующие определения и доказательства помещены в Приложение.
Я хотел бы поблагодарить моего научного руководителя Давида Каждана за помощь и поддержку. Также хотелось бы поблагодарить Мишу Вербицкого и Тони Пантева за многочисленные плодотворные дискуссии о предмете исследования, предлагаемого вашему взору.

2. Основные определения.

В этом разделе мы для удобства читателя напоминаем основные определения и результаты теории гиперкэлеровой редукции (см., например, [НКЬК]).
Определение 2.1: Гиперкэлерово многообразие М - это риманово многообразие, снабженное тремя интегрируемыми комплексными стук-турами I, J, К, которые параллельны по отношению к связности Леви-Чивита и удовлетворяют тождеству

1оЗ = -] о1 = К. □

Рассмотрим гиперкэлерово многообразие М. Для каждого мнимого кватерниона й = <и + Ь? -1- ск, а,Ь,с 6 К, определим эндоморфизм Я касательного расслоения М формулой Я = а! + Ы 4- сК. Легко видеть, что если а2 + Ь2 + с2 = 1, то оператор Я есть почти комплексная структура. Эта структура также параллельна по отношению к связности Леви-Чивита. Следовательно, она интегрируема. Множество таких Л есть единичная сфера в пространстве 1тН мнимых кватернионов. Отождествим ее с комплексной проективной прямой СР1.

Рассмотрим многообразие X = М х СР1. Пусть тг: X —> СРх,а : X —► М - естественные проекции. Для каждой точки х £ X, касательное пространство к X в точке х есть сумма касательного пространства к а{х) £ М и к тг(х) € СР1. Это разложение позволяет определить естественную комплексную структуры на этом касательном пространстве -она действует как 7г(л) 6 СР1 на первом слагаемом и как стандартная комплексная структура на втором.

Теорема 2.1: (см., например, [НК1Л1]). Эта комплексная структура интегрируема. ■

Тем самым X есть комплексное многообразие. Оно называется тви-сторным пространством М. По построению, отображение я голоморфно. Более того, для каждой точки х £ М, соответствующее сечение х : СР1 —► X также голоморфно, а его нормальное расслоение изоморфно сумме <Ит(Х) — 1 копий 0(1). ( См., например, [НКЬЯ] ).
Пусть № — СР1 х 1тИ - тривиальное 3-мерное вещественное векторное расслоение на СР1, слои которой отождествлены с пространством мнимых кватернионов. Стадартная метрика на 1тН дает метрику №. Пусть V : № —► АНСР1, №) - тривиальная связность на №. Она плоская, и совместима с метрикой.
Отождествление СР1 с единичной сферой в 1тН определяет единичное сечение И расслоения №. Ортогональное дополнение к Л тогда отождествляется с С^-касательным расслоением к СР1, и мы получаем ортогональное разлоежение метрических расслоений
ПГ = ЛКФГ(СР1). (1)
Это разложение индуцирует разложение
V = VI + Уг + $12 + $21)
где VI, Уг - связности, индуцированные на слагаемых (1), а $12,$21
1-формы со значениями соответственно в Нот(ЬЖ, Т(СРХ)) и в Яотп(Г(СР1),/гК)).
Легко видеть, что У1 тривиально, а У2 - стандартная связность на Г(СР1). Более того, $21 : Т(СР1) —► Н<гт{Т(СР1),ЬЖ) “ Т*(СР‘) есть минус канонический изоморфисм, ассоциированный с метрическим тензором, в то время как $12 : Т(СР*) —> Г(СР1) есть минус тождественный оператор.

Все эти данные поднимаются на X посредством отображения п. Для упрощения обозначений, мы будем использовать для поднятий те же буквы.
Для каждой из комплексных структур /, J, К на М, имеем соответствующую замкнутую кэлерову 2-форму
w/(v)=j ыо;
Ы;-)=П;К-),
где I - метрический тензор на М. Эти формы определяют единую 2-форму ши на X со значениями в W по формуле
шп = ші ■ і + uij ■ j + шк ■ к,
где i,j,k Є ImH - посотянные сечения W, заданные стандартными мнимыми кватернионами. Эту форму можно разложить в соответствии с (1) в сумму вещественной (1, 1)-формы ш и 2-формы С1 со значениями в Т(СР1). Стандартная комплексная структура на Т(СР1) позволяет рассматривать Г! как комплесную 0(2)-эначную форму. Тогда это форма типа (2, 0) (см., например, [HKLR]).
Пусть % - относительное голоморфное касательное расслоение к X над СР1. Тогда ограничение П на слои 7Г определяет сечение Пгеі голоморфного расслоения Л2(7^*) ® 0(2).
Предложение 2.1: (см., например, [HKLR]). Сечение Qrei голоморфно. ■
В разделе 3 нам понадобится некоторая версия явных формул из статьи [V],Appendix для дифференциалов ы в П в локальных координатах на СР1. Выведем эти формулы.
Выбор голоморфной локальной координаты г на открытом диске V С СР1 задает голоморфную тривиализацию д/дг : О —► 0(2) расслоения 0(2) на тг_1(У). Эта тривиализация позволяет рассматривать П как С-значную (2, 0)-форму на ir~x{V). Пусть p(z) - такая вещественнозначная функция на СР1, что p(z)dz ®dz- кэлерова метрика на СР1.