Об интегральных уравнениях с почти периодическим ядром

• Автор: Шамгунов К.Д.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1949
• Место защиты: Фрунзе
• Количество страниц: 77 с.

ВВЕДЕНІЇ. . s

В данной работе.: .'рассматриваются интвгреільнне . уравнения-следующих, .типовії •■■■'. •- ■ ■■".;

' і' ' ' ' ГГ ' '/і.'

^SK^}4>wJv; : ,і

Т-^дЛ г> (І)

Ч>С*с)- ^ -& «, L ( }{(І>С,

T’-fj* ‘ %

. .• : . ... ' .

в предположении,- что есть дгочти периодическая фуНКЦИЯ ПО СОБОКуПНОСТИ ПервМ&НЕЫХ 3£ И У,
^ Ы) - почти периодическая. Еа.,функцию ограничения будут наловэин ■ в дальнейшем. .. ;•

' ■ В этой работе почти периодичность■предполагается. В смысле Бора.":

Бохнер м, в. конце своей работы
Веіуя^е Zut Л Є-vue Mr -fajiрегіоні$с&еп JunHlurvev
IfTeië, J~u»n~t< опеъ г, ifan/'et , ■■
’ сравнивая-!! )1' с уравнением. /;•
* ' ■ ' ■ -/ •
р - .
где H *(3?, Vj , yf Сус?: і. СуТЬ чисяо периодические, ■ •
" ' ■
с периодом. I*- непрерывные функции, утверждает, что
некоторые теоремы для уравнения- (3)- могут быть же-' ренесекы на уравнение (Ijv Бохнер■пишет: ?Если уравнений (Ж) .■ у
противопоставить, уравнение ".
■-.ri*,"? f‘м-> Uw+ЪъЬ;- - (в)
В котором функции Ч? *(*i , И *( X, и (х)
■непрерывны--'и по каждому-первыеиному* чистопериоди- '
ческие с периодом X, то ножно-,Примерно говоря, утверждать, что всякое- предложение об уравнении (В)' может быть .непосредственно и. дословно перенесено- ка-уравнение С а),, если каждый раз операцию $ • заменить
. « -V - ' , у, : . С
через соответствующий знак, среднего значения1’; далее -. он предлагает определения итерации- ядра/ .резольвенты й. приводит явное- в нракение решений через резольвенту.
. Никаких доказательств о.е: не приводит, кроме указания на то,что множество функцийДЛЯ всех ВОЗМОЖНЫХ П-.П* функций с сМ15* I
есть шіожестно/. имеющее найоранту •
В дальнейшем нами будет пока-заио,что такое утверждение не все гд а может быть правильным і
В 1947 ’году в ДАН СССР пс не: г л ас ь работа-Бор ухо ва в которой автор доказывает три. теоремы. Фред гол ь-ма для . уравнения (I). ■
Борухов исходил1 из уравнения ,
где -Т7 . « фиксированное число* и ■ для: отого уравнения строит резольвенту
и- решение
^грСх)- ьНр*)** , / (5 у
Далее, рассматривая, после дозательность 7^7^
у..~юо и соответственно после дов-ательностк {
он доказывает, что можно выб-

рать равномерно сходящеся подпоследовательности
... ... :.
• Чг І ',• ф . . ' у. 'І
Пусть ' ' ; і
, Л’т Ш .= .^./АГ, '. . . '
V:-'.' '.' К-? ог> V
. - -&У, ^ (*,$,>} з,лг .;- • :
к Е*» ■
Тогда, легко- получается явное внракениє решения .уравнения (І) б виде '
ПГ*
Пользуясь ’ этим методом Борухов: доказывает.- три • теоремы Фрєдгольма' и считает задачу своей, работа выполненной, . . ■ .' - . ' ; .
Нам кажется, что, его- метод имеет' искусственный характер, и в- применении к доказательствам других чшо рем.-для уравнения £1.) связано с большими трудностями, Эти трудности возникают в связи с ■.исследованием свойств некоторых предельных функций, встречающихся в построении теории этих. уравнений." /’ ф
„. Более естественным является построение1 теории интегральных уравнений с почти периодическим ядром; на основе свойств п.п. функций и среднего значения;
Методы доказательства теорем,, приведенные в.ра-боте, имеют полную-аналогию с методами доказательств* соответствующих теорем для обычных инта.тра.льннх уравнений Фредгольма. с конечным промежутком интегрирова-. кия. Однако.--'следует., заметить;, что проведение такой '
аналогии ке всегда удается: просто-. Часто мы вынужЭто неравенство противоречит пред положению нолокителъ--ности ядра;. В предыдущем. доказательстве леммы УХ мы .воспользовались обобщенными п.п. функциями в смысле Вейл я і Естественно возникает вопрос построения доказательства этой леммы в пределах теории почти периодичности по Боруїі
Ниже мы приводим построение таково доказательства. Лемма У П.,.Для п.п. функции і ■>с) ■ и любого .... ' ' ■ - X * ' ' ' '
существуют £> смещения этой функции, составляющие арифметическую прогрессию заданной длины р? '■ $ причем, 1-й член прогрессии равен, ее разности*. . Доказательство:. Для числа <5 определим. L-L{^J "так, чтобы каждый интервал длины: 1~ содержал по
ррай 29 Й мере ОДЕО> Ц € |г смещение функции В
каждом и.з- интервалов; •
возьмем по; одному целому ’ ^ ._ смещению и выпишем их.
" - • ' ■
в порядке возрастания. 1 .
... . . -
Последовательность, целых чисел (6) удовлетворяет условиям леммы Е, так как ^ Поэтому из ■
этой последовательности можно1 выбрать арифме тиче осу® . про г се с с тго длины: А?
"■ (ти)
^/0 Л*» .г
Разность двух '^—смещений есть с5 * смещение функции ^ л*с/ , а поэтому, если обозначим, разность
Х(;)' гк'° г ер:ез ? г ТО .чксла Я . ЛИ , ■ : - , ПЇ &
будут - смеврниЯІ.4И функции ^~С^с/