Осесимметричный пограничный слой на игле

• Автор: Шадрина, Татьяна Васильевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 73 с. : ил.

Глава I. Элементы степенной геометрии

§ 1. Пространственная степенная геометрия

§ 2. Плоская степенная геометрия

Глава II. Обтекание иглы вязкой несжимаемой жидкостью

§ 1. Преобразование системы уравнений Навье-Стокса

§ 2. Первые приближения решения в бесконечности

§ 3. Автомодельные решения задачи (2.4)-(2.7)

§ 4. Неавтомодельные решения задачи (2.4)-(2.7)

§ 5. Двуслойные автомодельные решения

§ 6. Двуслойные неавтомодельные решения

Глава III. Обтекание иглы вязкой сжимаемой теплопроводной жидкостью

§ 1. Система уравнений в частных производных
§ 2. Система ОДУ
§ 3. Решения уравнения (2.15) вблизи нуля
§ 4. Решения уравнения (2.15) вблизи бесконечности
§ 5. Решения уравнения (2.15) вблизи точки £° > 0
§ 6. Решения уравнения (2.15), удовлетворяющие обоим граничным
условиям
§ 7. Возвращение к исходной задаче (1.1)—(1.3), (1.6), (1.7)
Литература

Примерно 100 лет назад Прандтль [11] и Блазиус [12] создали теорию погранслоя на полубесконечной пластине в стационарном потоке вязкой несжимаемой жидкости. Впоследствии оказалось, что решение Блазиуса применимо также к толстым пластинам с закругленной кромкой, к заостренным пластинам и к конечной пластине (кроме обеих ее кромок). Гольдштейном [23] (1933) было рассмотрено течение за пластиной, эти результаты позднее уточнил Стюартсон [24] (1957). В 1970г. Ван де Воореном и Дикстрой [25] был изучен погранслой на всей длине пластины, в том числе вблизи передней кромки. Маклахлан [26] (1991) построил математическую модель обтекания тонкой конечной пластины, в которой погранслой является трехслойным.
Также во многих работах изучался погранслой при осесимметричном обтекании цилиндра. В начальной части цилиндра, где толщина слоя мала по сравнению с радиусом, влиянием поперечной кривизны можно пренебречь. Тогда погранслой ничем не отличается от погранслоя на пластине и описывается решением Блазиуса. Чем ближе к носику цилиндра, тем менее точное приближение дает решение Блазиуса. Себан и Бонд [27] (1951) и чуть позднее Келли [28] (1954) получили решение, продолжающее решение Блазиуса при приближении к носику цилиндра. Для изучения погранслоя при удалении от начала цилиндра сперва использовался метод Рэйли [29] (1911), который давал грубое приближение. Полученные этим методом решения теоретически давали качественное описание погранслоя, но не количественное. Польха-узеном [30] (1921) был предложен метод, с помощью которого Глауэрт и Лайтхилл [13] (1955) дали приближенное решение задачи обтекания длинного тонкого цилиндра, справедливое при любых значениях параметра ^х/и^а2 (где V — динамический коэффициент вязкости, иж — скорость внешнего потока, а — радиус цилиндра, независимая переменная х направлена вдоль цилиндра). И, кроме того, они нашли асимптотическое решение, соответствующее большим значениям этого параметра. Тогда же Стюартсон [31] изучил более общий случай погранслоя на длинном тонком цилиндре, когда скорость внешнего потока задается степенной функцией и= схт.
Однако, полученные на цилиндре результаты не дают предела при стремлении радиуса цилиндра к нулю. И до настоящего времени теория погранслоя на полубесконечной игле не была создана.
Степенная геометрия, которая используется в данной работе, была разработана А.Д. Брюно как универсальный набор алгоритмов для
Рис. 1. Схема осесимметричного обтекания иглы вязкой жидкостью.
анализа сингулярностей, пригодный для всех типов уравнений. Уравнения могут быть алгебраическими, обыкновенными дифференциальными и в частных производных, системы могут состоять из уравнений одного типа или содержать уравнения разных типов. В [5, гл. VI, § 6] описано нахождение решения Блазиуса при обтекании полубесконеч-ной пластины стационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости с помощью степенной геометрии. При этом было дано чисто математическое обоснование теории погранслоя на пластине, не использующее какие-либо механические или физические соображения.
В этой работе рассматривается стационарный осесимметричный поток вязкой жидкости, набегающий на полубесконечную иглу (рис. 1), для двух вариантов: (а) несжимаемой жидкости и (б) сжимаемой теплопроводной жидкости. Такой поток описывается системой уравнений Навье-Стокса, которая сводится к системе уравнений в частных производных для двух независимых переменных: х — вдоль оси симметрии иг — расстояние от оси х зависимые переменные в варианте (а): функция тока ф и давление р. В случае обтекания иглы вязкой сжимаемой теплопроводной жидкостью добавляется еще одна зависимая переменная. Вместо давления р используются две зависимые переменные: Л — энтальпия (аналог температуры) и р — плотность. Игла задается как х > 0, г = 0.
Цель работы — найти при х —» +оо асимптотики решений для функции тока ф (для сжимаемой жидкости еще энтальпии Л и плотности р), удовлетворяющие всем граничным условиям. Если такие решения существуют.
Для этого используются методы степенной геометрии. Из полной системы методами пространственной степенной геометрии выделяется укороченная система, которая является первым приближением полной системы при х +оо. И, кроме того, решения этой укороченной системы удовлетворяют граничным условиям в бесконечности. После этогде со — произвольная постоянная. Это уравнение эквивалентно уравнению
Я"-1#' = С1/£,
где С1 ф 0 — произвольная постоянная. Интегрируя это последнее уравнение, получаем
—Я" = С11п| + сз при пф О, п
1п Я = С11п £ + сз при п = О,
где Сз — произвольная постоянная. Эти выражения эквивалентны формулам
Я = (С41п £ + С5)1/" при пф 0, (3.7)
Я = с4£А при п = 0, (3-8)
где С4, С5 и Л — произвольные постоянные.
Для решений (3.7) при £ -» 0 порядок г = 0 и, согласно п. 2.2 главы I, им соответствует вектор Р = ш(1, г) = —(1,0), который не лежит в нормальном конусе и^. Следовательно, при п ф 0 вершине Г]°* не соответствует никакое подходящее решение (3.7).
Для решений (3.8) при £ —»• 0 порядок г = А. Вектор Р — а/(1,г) = (—1,— А) £ и^0*, если А < 0, что в дальнейшем предполагается. Следовательно, при п = 0 выражение (3.8) с А < 0 дает степенные асимптотики решений уравнения (2.15). По п. 2.3 главы I найдем степенные
разложения этих решений вида
Я = с4£а + Е *>»0, в > А, 5 € К. (3.9)
Первая вариация уравнения (3.6) при п — 0 есть
Цт = -4«я'|+2«я"++2Я'+2Нж
По теореме 5 главы I, на кривой (3.8) она дает оператор

_2Л^ + А(А - 1) + + А +
#0.
Тогда характеристический многочлен дифференциальной суммы А00
есть
і/(0 = 2с4[—2А& + А(А - 1) + к(к - 1) + А + к] = 2с4(к - А)2.