Разрешимость задачи Дирихле для параболических уравнений второго порядка в Lp-пространствах Соболева

• Автор: Гордеев, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 78 с.

Оглавление
Введение

1. Уравнение в выпуклой цилиндрической области

§1. Разбиение единицы и вспомогательные Ьр-оценки

§2. Оценки функции Грина

§3. Разрешимость задачи Дирихле

2. Уравнение в цилиндрических областях более общего вида

§1. Оценки функции Грина

§2. Вспомогательные Д,-опенки для оператора теплопроводности

§3. Доказательство основных утверждений

Литература

Введение
Рассмотрим в цилиндрической области Qт = В х (0.Т) с ограниченным основанием В с К'1, п 5г 2, параболическое уравнение вида
(0.1)
= /о + У1(/і)а=„ /і Є L.P(QT), г = 0,1

коэффициенты которого симметричны, непрерывны в замыкании Qt и удовлетворяют условию равномерной параболичности

л_1|£|2 < aik(t,x)££k Л|С|2, А = consi > 0. (0.2)
i,fc=l
В настоящей диссертации изучается вопрос об однозначной
Lj-разрешимости однородной задачи Дирихле в областях с нерегулярной
границей основания D. Разрешимость исследуется в пространствах о 1,0 01,0 О 1
WP (Qt) и Vp (Qt)- Здесь Wp (Qt) — пополнение гладких функций, равных нулю в окрестности боковой поверхности цилиндра Qt по норме Wp'°(Qt) — Соболевского пространства функций, Д,-суммируемых в Qt вместе с обобщенными производными первого порядка по пространствен-
ОІ.0 о 1
ным переменным; V v (Qt) — подпространство Wp (Qt), состоящее из Рр(И)-непрерывных на [0,Т] функций с нулевым следом на нижнем основании цилиндра Qt-
Для соответствующих эллиптических уравнений второго порядка раз-

решимость задачи Дирихле хорошо изучена в пространстве IVр (V) — замыкании С°(0) по норме ¥р{П). При р = 2 задача является классической, она однозначно разрешима для уравнений с измеримыми коэффициентами в произвольной ограниченной области П. Если р 2, то граница области не может быть произвольной и от коэффициентов требуются дополнительные ограничения. Один из первых результатов в этом направлении содержится в работе С. Агмона, А. Дуглиса и Л. Ниренберга [10]. Ими показано, что если граница сШ принадлежит классу С1, коэффициенты уравнения равномерно непрерывны в О, то задача Дирихле однозначно Ар-разрешима для всех рб (1, оо). Влияние границы на разрешимость задачи Дирихле исследовалось во многих работах, которые условно можно разделить на две группы. К одной группе можно отнести результаты в областях с изолированными особенностями на границе. Так, в плоском случае в работах В.А. Кондратьева [19], П. Гривара [3], В.Н. Масленниковой и М.Е. Воговского [6] рассмотрены угловые точки. Особенности границы типа конических точек, ребер, многогранных углов изучены В.А. Кондратьевым в [19, 20], Г.Н. Вержбинским и В.Г. Мазьей в [15]. Наиболее общие результаты о разрешимости краевых задач в /-пространствах с весом для областей с изолированными особенностями на границе получены в серии работ В.Г. Мазьи и Б.А. Пламеневского [7], [28]. К другой группе относятся результаты, когда особенности не локализуются и основное внимание уделяется условиям регулярности границы, достаточным для справедливости тех или иных оценок решений. Этому направлению посвящены исследования В.А. Кондратьева и С.Д. Эйдельмана в [25] и В.Г. Мазьи и Т.О. Шапошниковой в [29]. Задача Дирихле в выпуклой ограниченной области изучена Ю.А. Алхутовым и В.А. Кондратьевым в [14]. Необходимое

Замечание 1.3.1. Оценка (1.3.3) имеет место также для решения задачи (1.1.8). Чтобы убедиться в этом, достаточно, пользуясь замечанием 1.1.1, вывести неравенство (1.1.9), доказательство которого, основанное на представлении решения с помощью функции Грина, аналогично приведенным выше рассуждениям.
Перейдем к задаче Дирихле (0.4) для уравнения (0.1). Сначала, предполагая коэффициенты а.ц, бесконечно дифференцируемыми в 0Т, а основание В цилиндра С)г — выпуклой областью с.границей из класса С°°, рассмотрим задачу Дирихле для уравнения с гладкой правой частью

Ви = /о + У2Шхг в Ят,
“Т (1.3.5)
/г € С%°(0т), г = 0,1 идрЮт) = 0.
Эта задача классически разрешима, и в силу оценок (1.3.3), (1.3.4) методом замораживания коэффициентов молено показать, что ее решение удовлетворяет неравенству

1Н1и’°(дт) (£>п>Р»Ф(11/о|1ыРт) + 2 ИЛНыОт) + 1М1м<Эт))> (1*3.6)

если р 6 (1,оо), и неравенству

спД){\к\ьр{дт) + У, 11/» II М<Эт) + 1М1ьр(<эГ)), (1.3.7)

если р 2. Зависимость положительной постоянной С от оператора Г определяется только константой эллиптичности Л и модулем непрерывности коэффициентов уравнения (0.1).
Замечание 1.3.2. В силу замечания 1.3.1 неравенство (1.3.6) имеет место и для решения задачи Дирихле с сопряженным оператором Г*:

£*и = /о + У6 Ят,
(1.3.8)
/г € Ср {бт); * — 0,1