Решение краевых задач для уравнений смешанного типа методом спектрального анализа

• Автор: Хасанова, Светлана Леонидовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 82 с.

Содержание
Введение
1. Спектральные свойства решения задачи с производной по нормали в граничном условии для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева - Бицадзе и их применения
§ 1.1. Постановка спектральной задачи ТАГ. Построение системы собственных функций и исследование на полноту
§ 1.2. Построение решения задачи TN для уравнения Лаврентьева - Бицадзе
§ 1.3. Решение задачи ТN для уравнения Лаврентьева - Бицадзе
с комплексным параметром
§ 1.4. Пространственная задача ТА'’
2. Решение задачи с производной по конормали в граничном условии для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением
§ 2.1. Постановка спектральной задачи ТИд. Построение системы собственных функций
§ 2.2. Постановка спектральной задачи ТА^д. Построение системы собственных функций
§ 2.3. Решение задачи ТИ,о

3. Построение решения задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением
§3.1. Постановка спектральной задачи Т. Построение системы
собственных функций
§3.2. Решение задачи Трикоми
Литература

Введение
Уравнения смешанного типа встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера. Поэтому краевые задачи для таких уравнений привлекают внимание многих ученых.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф.Трикоми [63, 64] и
С.Геллерстедта [73], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешаного типа с одной линией параболического вырождения.
В 40-х годах 20-го столетия Ф.И.Франкль [66, 67] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных задач в трансзвуковой газодинамике. В последние годы на важность уравнений смешанного типа указано в работах О.С. Рыжова [39], А.Д. Пилия и В.И. Федорова [36], А.Г. Кузьмина [27] в связи с проблемами теории сопел Лаваля, теории плазмы и другими вопросами.
В 50-е годы в работах Ф.И.Франкля [68], А.В.Бицадзе [6], К.И.Бабенко [2] было положено начало современной теории уравнений смешанного типа. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа. Основные результаты этих работ и соответствующая им библиография приведены в монографиях А.В.Бицадзе [6, 7], Л.Берса [3], К.Г.Гудерлея [14], М.М.Смирнова [57] - [59], М.С.Салахитдинова [55], Е.И.Моисеева [30].
Следует отметить, что подавляющая часть работ по уравнениям смешанного типа относится к исследованию краевых задач для уравнения смешанного типа с нехарактеристическим вырождением. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением изучены сравнительно мало.

Из формулы (1.68) находим:
”(г.0)=«(*.0) = Ф) = ^Е/»;^^. *6 [0,1], (1-69)
иу(х, 0) = и(х) =
л/2*п=1 л/Л^(л/А)

, ж Є (0,1).
(1.70)
то сумма ряда
Если в формуле (1.29) положить с„т = г ,
V 2 V А^п(у А)
от функций ДП)т(аГ, у) по переменной п определяет решение задачи Коши для уравнения (1.1) в области с краевыми условиями (1.69) и (1.70):
«<*,») = -4 Е л(—)""'2;Ц#77П!а-
V 2 „=1 x-yj фХби (л/А)
Таким образом, доказана
Теорема 1.5. Если /(<р) е С“[0, у>о], а £ (0,1], то существует решение задачи (1.63) - (1.67) при всех А ф Ап,т и оно имеет вид
и(х,у)

1 І2' / /х + уУп/2^п (у/А(дз2 - у2))

£/«(—) „=1 x-yj
(г, у?) Є £>+
, (х,у) € П-,

где АП1„, - собственные значения задачи Т1Уд, /„ - определяются по формуле (1.60).
§1.4. Пространственная задача ТЫ
Рассмотрим уравнение
Ь№ = ¥хх + sgn у ■ V-yy + Шгг = 0, (1.71)
в области й = О х (0,7г), где £> - область плоскости описанная в § 2. Обозначим 5о = ГоХ [0,7г], Бак = АКх[0, д], г е [0, д]; С7+ = С?П{у > 0}; С_ = С?П{у < 0}.