Уточненные соотношения нелинейной теории пластин и оболочек, ориентированные на решение контактных задач

• Автор: Ермоленко, Андрей Васильевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Сыктывкар
• Количество страниц: 117 с. : ил

Содержание
Введение
1. Некоторые исходные соотношения
1.1. Деформация поверхности
1.2. Линии на поверхности
1.3. Формулы интегрирования по частям
1.4. Уравнения упругости, используемые
в теории гибких оболочек
2. Теория изгиба пластин
типа Кармана, учитывающая трансверсальные деформации
2.1. Вывод полевых уравнений
2.2. К выводу граничных уравнений
2.2.1. Классический вариант, граничных величин
2.2.2. Полудеформационный вариант граничных величин
2.2.3. Граничные условия подкрепленного края..4%
2.3. О влиянии учета вариаций параметров поперечного обжатия
на распределение контактных реакций
2.3.1. Аналитическое решение контактной задачи для пластины над жестким основанием
2.3.2. Применение метода обобщенной реакции к задаче о пластине над жестким основанием
2.3.3. Осесимметричное контактное взаимодействие круглой пластины с абсолютно жестким основанием
2.4. Контактное взаимодействие двух круглых тангенциально подкрепленных пластин
3. Уточненная нелинейная теория пологих
оболочек

3.1. Уравнения равновесия пологой оболочки
без использования гипотез Кирхгофа
3.2. Граничные величины в уточненной нелинейной теории пологих оболочек
3.3. Обратная задача для спрямленной пологой цилиндрической оболочки
4. Общая нелинейная теория
жестко гибких оболочек, учитывающая поперечные сдвиги и обжатия
4.1. Вариационный вывод уравнений равновесия
4.2. К формулировке граничных условий
4.3. О возможности применения построенной теории к расчету мягкогибких оболочек
Заключение
Литература
Приложение I. Метод обобщенной реакции

Введение
Работа посвящена выводу уточненных соотношений нелинейной теории пластин и оболочек, ориентированных на решение контактных задач со свободной границей. За основу взята квазикирхгофов-ская нелинейная теория оболочек К.Ф.Черныха [76], в которой учитывается изменение толщины оболочки (т.н. поперечное обжат,ие). При этом функции, связанные с поперечным обжатием (Л^, >ф), определяются из некоторых дополнительных условий, что позволяет учесть изменение толщины без повышения порядка разрешающей системы уравнений. В данной работе уточнялась квазикирхго-фовская теория за счет учета вариаций параметров и попе-
речных сдвигов по линейной теории. При этом полевые и граничные уравнения выводились не из условий равновесия бесконечно малого элемента, как это сделано в работе [76], а из вариационного уравнения Лагранжа, что позволило учесть работу поверхностных сил на изменении толщины оболочки.
Актуальность темы. Время от времени публикуются работы, в которых авторы излагают свое видение актуальных задач механики оболочек (см., например, [16, 54, 61]). В работе [16] указаны (так уж совпало) 23 “нерешенные проблемы математической теории оболочек”, первая из которых представлена так:
“1. Формулировка основных краевых задач нелинейной теории оболочек без предположения пологости и среднего изгиба, т.е. при произвольных поворотах”.
Имеет отношение к данной работе и седьмая “нерешенная проблема МТО” по И.И.Воровичу:
“7. Построение математической теории краевых задач для вариантов оболочек типа Тимошенко-Рейсснера, учитывающих наряду с геометрической нелинейностью сдвиговые напряжения. Обоснование приближенных методов”.
Непосредственное отношение к данной работе имеет высказанное в проблемной статье [54] указание на целесообразность учета вариаций параметров поперечного обжатия при построении двумерной модели механики тонких упругих оболочек, основанной на предложенной К.Ф.Черныхом аппроксимации. Кроме этого в названной статье сказано следующее: “Актуальной является задача по формированию граничных величин для нелинейной теории оболочек, использование которых не приводит к нарушению вариационных

Т{п - М{а,а = кдп^, г = 1,2. (1.23)
Вводя функцию напряжения следующим образом:
Тц — Ф 22 — ■: Т22 = ФД1 — -——тп, Ти — — Ф 12, (1-24)
1 — и 1 — V
из соотношений (1.14)1 находим
ец = «1,1 = ~~~|~(Ф,22 - *Ф,п - г/тп) - и), е22 = (1 — 2)еп,
Еп I '
в12 = х(«1,2 + «2,1) = -^до^Ф,12 - (1-25)
2 Еп *
Подставляя е,-у из (1.25) в очевидное (при выражении в перемещениях) тождество
бц,22 ~Ь 622,11 2£12,12 = 0) придем к следующему уравнению типа Кармана:
ДгД2Ф = ДгДтп + щ212 — щ ц«122- (1-26)
ЕП ЕП
Дифференцируя (1.23)з по и свертывая полученное равенство по индексам 1 и), будем иметь
—Ма р>ар — —Тап>а + кАдп. (1-27)
Исключая теперь из уравнений (1.23)2 и (1.27) изгибающие моменты и учитывая формулы (1.17'), (1.24), находим
иа,а = —^(д„ + Л(Ф,и/)), (1.28)

Л(Ф, гг) = Ф,ц«;,22 ~ 2Фд2?гд2 + Ф,22«*,п- (1.28')
Уравнению (1.23)2 на основании (1.14)2, (1.14)з можно придать вид
ИА1 - ВАша1<х = дп + Ь,Адп +Л(Ф,ш). (1.29)
Исключая, наконец, поперечные сдвиги из (1.29) с помощью (1.28), придем к следующему обобщенному уравнению Кармана