Численное моделирование динамики упругих и пороупругих трехмерных тел на основе совместного применения методов граничных элементов и Рунге-Кутты

• Автор: Ратаушко, Ян Юрьевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 80 с. : 99 ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава I. Математические постановки задач, схемы численного обращения преобразования Лапласа
1.1. Математические модели
1.1.1. Упругая среда
1.1.2. Пороупругая среда
1.2. Метод квадратур свёрток и шаговая схема численного обращения преобразования Лапласа
1.2.1. Традиционный метод квадратур свёрток
1.2.2. Метод квадратур свёрток на основе методов Рунге-Кутты
1.2.3. Шаговая схема численного обращения преобразования Лапласа
1.2.4. Модификация шаговой схемы с переменным шагом интегрирования по аргументу
1.2.5. Модификация шаговой схемы на узлах методов Рунге-Кутты
1.3. Численно-аналитические результаты
1.3.1. Задача о действии осевой силы на упругий стержень
1.3.2. Задача о действии осевой силы на пороупругий стержень
1.3.3 Моделирование медленной продольной волны в одномерном случае
Глава II. ГИУ и гранично-элементная методика
2.1 Граничные интегральные уравнения
2.2. Гранично-элементная дискретизация
2.3. Программное обеспечение
2.4. Задача о действии торцевой силы на упругое призматическое тело
2.5. Задача о действии торцевой силы на пороупругое призматическое тело
Глава III. Моделирование поверхностных волн на базе МГЭ
3.1. Задача о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого
полупространства
3.2. Задача о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого
полупространства, ослабленного полостью
3.3. Задача о действии вертикальной силы на поверхность двухслойного
пороупругого полупространства
3.4. Задача о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого
полупространства с выемкой

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение
Работа посвящена распространению волн в упругих и пороупругих телах. Исследования в упругой постановке имеют более долгую историю, чем в иороупругой постановке. Однако, пористые материалы широко распространены как в природе, так и в технике. Такими материалами являются насыщенные газом или жидкостью грунты, горные породы, конструкционные, строительные материалы и т.д. Как упругая, так и пороупругая модели могут быть применены для описания материалов, с которыми приходится иметь дело в различных отраслях инженерии, в строительстве, в химической и нефтехимической промышленности, в геологии, в биомеханике.
В работе разрабатывается методика моделирования с использованием шаговых по времени схем метода граничного элемента (МГЭ), создаётся соответствующее программное обеспечение, позволяющие делать выводы о распространении волн как в однородных, так и неоднородных телах. В качестве реализации модели неоднородности рассматривается кусочно-однородное тело. В рассмотрение включены конечные и полубесконечныс тела, для которых рассматривается, кроме всего, влияние ослабляющих полостей.
Для моделирования волновых процессов применяется аппарат граничных интегральных уравнений (ГИУ). Компьютерное моделирование решений во времени производится с помощью шаговых схем метода граничного элемента. Выбранная модель предоставляет такие преимущества, как возможность расчёта тел с граничными поверхностями ляпуновского типа произвольной формы, автоматическое выполнение условий поведения решений на бесконечности при рассмотрении нестационарных процессов в полубссконечных телах, а также численно-аналитический характер подхода и как следствие относительно невысокие вычислительные затраты при сохранении высокой точности получаемого результата. Применение шаговой схемы на узлах методов Рунге-Кутгы, усечение процедуры шага по времени за счёт введения переменного шага интегрирования и учёта симметрии подынтегральной функции, распараллеливание вычислительных потоков прн компьютерном моделировании позволяют достичь большей точности, максимальной экономии времени расчётов и оптимизации использования вычислительных средств.
Для корректного исследования волновых процессов необходимы динамические формулировки исходной системы дифференциальных уравнений для рассматриваемой модели и соответствующие ей ГИУ. Использование аппарата ГИУ в динамической теории упругости берёт начало с работ Мюнца Ч.Х. 1932 г. Первая граничная интегральная формулировка для упругодинамики была опубликована Cruse Т.А. и Rizzo F.J. [106]

I, С
схема Эйлера, переменный шаг схема Лобатто
схема Радо аналитическое решение

схема Эйлера, переменный шаг схема Лобатто
схема Радо аналитическое решение

Перераспределение узлов <р, по расчётному промежутку вышеописанным способом для традиционного подхода не позволяет намного превзойти результаты, полученные с помощью подхода на основе схемы Радо, лишь ускоряя сходимость с измельчением сеток. На малом числе узлов подход на основе методов семейства Рунге-Кутты отстаёт в точности аппроксимации от подхода с переменным шагом; с дальнейшим