Распространение волн Лява и Релея в упругой и двухфазной средах при неклассических граничных условиях

• Автор: Погорелов, Евгений Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 85 с.

Содержание
Введение
Глава I
Решение задачи Лява с неклассическими граничными условиями
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Получение амплитудных функций
в общем виде и вывод дисперсионных
уравнений для всех возможных скоростей р
§ 3. Классический случай (М = 0, К = оо)
§ 4. Влияние винклеровского слоя (М = 0, К >0)
§ 5. Влияние инерционного слоя (К = оо, М >0)
§ 6. Распространение поперечных волн в бесконечной
полосе с инерционным слоем на границе (К = 0)
§ 7. Распространение поперечных
волн в общем случае (К >0, М > 0}
Выводы
Глава II
Решение задачи Релея для двухфазной среды с неклассическими граничными условиями
§ 1. Вывод волновых уравнений из
уравнений равновесия для двухфазной среды
§ 2. Постановка задачи и вывод дисперсионных уравнений
§3. Поведение дисперсионной картины
в зависимости от параметров граничного условия
Выводы
Основные результаты и выводы
Список литературы

Введение
В теории моделирования волновых процессов в телах и средах обычно используются классические граничные условия свободной либо закрепленной границы, что не всегда оказывается хорошим приближением для описания поведения реальной механической системы.
Рядом авторов (24, 20, 28, 19, 12, 6, 15, 17, 18, 13, 45, 48, 62, 78, 72, 39] обнаружена качественно отличная структура решения при отступлении от классических граничных условий. Эти результаты подтверждают необходимость модификации модели граничных условий для учета различных типов подкрепления: слоев осадочных пород в сейсмологии, смазочных прослоек в технике, облицовки различных свойств и типов (например, различного сорта изоляции, нарушающие чистоту проводимости сигналов), антикоррозионные и армирующие покрытия в металлоконструкциях.
В этой работе в задачах о распространении стационарных волн в упругом с верхним слоем и двухфазном полупространстве рассматриваются граничные условия типа основания Винклера (напряжения на границе пропорционально перемещению) и инерционного сопротивления (напряжение пропорционально ускорению).
Рассматривая гармонические волновые движения в упругих волноводах, приходят к сложным трансцендетным дисперсионным уравнениям, — соотношениям между частотой и параметром распространения (волновым числом) или частотами и скоростями их распространения, вид которого зависит от формы и типа волновода, а также граничных условий на его поверхности.
Особенно подробно рассмотрены во многом сходные задачи о распространении гармонических волн в бесконечно протяженных слоях (или пластинах) и упругих круговых цилиндрах при наличии свободной граничной поверхности (классические однородные условия).
Распространение осесимметричных стационарных волн в бесконечно длинном сплошном круговом цилиндре было независимо исследовано Похгамером [66] и Кри [46] на основе трехмерной линейной теории упругости. В этих работах были построены наборы частных решений уравнений Ламе в цилиндрических координатах, представляющие осесимметричные волны кручения, осесимметричные продольные и антисимметричные изгибные волны. Аналогичные результаты для упругого слоя, представляющие плоские ЭН, Р и ЭУ волны, были получены Рэлеем [68] и Лэмбом [55, 56].
Всестороннее изучение и анализ свойств корней дисперсионных уравнений в последующие годы стали предметом многочисленных теорети-

ческих и эксперементальных исследований. Обзоры эксперементальных и теоретических результатов раннего периода можно найти в работах [5, И, 10] (список работ не претендует на полноту и представлен в хронологическом порядке) и [3, 1. 4, 11, 32, 60, 62, 70, 10] соответственно. Более поздние обзоры содержатся в работах [26, 38, 9] по эксиеременталь-ным данным и в работах [7, 9, 61, 34, 57, 76], посвященных теоретическим исследованиям.
Наряду с исследованием точных решений развивались и различные апроксиманионные подходы и приближения для внутренней задачи о цилиндре.
Существует два подхода для анализа решений частотных уравнений, базирующихся на прямом численном счете (методы, способы и результаты которых содержатся, например, в работах [2, 56, 67]) и методе качественного анализа дисперсионных уравнений, то есть на исследовании решения в предельных случаях высоких и низких частот, асимптотического поведения частотного спектра в коротковолновом и длинноволновом приближении и изучения свойств решения в окрестности особых линий и точек. В данной работе предпочитается второй метод, так как многие результаты, полученные численным методом, не могут быть обобщены на произвольные значение параметров, которые должны задаваться конкретным числом, поэтому таковые результаты имеют неопределенный характер.
Первый систематический анализ корней дисперсионных уравнений для низших ветвей частотного спектра (набор корней дисперсионного уравнения, представляющий частотный спектр задачи, образует на плоскости (сь>,р), где ш — частоты гармонической волны, а р — фазовая скорость распространения, сложную систему непрерывных кривых, называемых спектральными кривыми или ветвями спектра; каждая точка на такой кривой представляет моду волнового движения или нормальную волну [9]) был по-видимому, выполнен в работах [37, 53, 49, 32]; позднее, моды более высокого порядка были изучены рядом авторов [35, 75, 54, 73]. Изучение асимптотического поведения спектральных кривых достаточно подробно представлено в работах [77, 14, 59].
В 1951 г. Хоулден [52] и Миндлин [62] предложили и разработали эффективный метод решения частотных уравнений — метод решеток и границ, сводящий дисперсионное уравнение к простым алгебраическим, корни которых совпадают с корнями трансцендентных уравнений в дискретных точках и образуют границы для спектральных кривых между этими точками.
Набор корней, — решений дисперсионного уравнения, — может содержать действительные (7 = £), мнимые (7 = «V) и комплексные (7 = £-Иг/)

Как раннее показывалось, кривые £i = с в плоскости ГIP имеют вид монотонно убывающих псевдогипербол, имеющих в качестве правой боковой асимптоты прямую Р = 1, а в качестве нижней асимптоты прямую = с, при этом Р > 1 и П > 1. Можно построить кривую = 1 в качестве базовой, а для того, чтобы получить кривую £i = с, нужно воспользоваться формулой П(с;Р) = с* П(1;Р). Эта же формула оказывается справедливо и в отношении семейства кривых £з — с. Кривая £з = 1 выходит из точки (Р = 1,П = 0) и, монотонно возрастая, стремится к верхней асимптоте П = 1. В плоскости £i£3 имеем серию кривых £з(£0- При изменении £i ОТ ПП — | до 7Гп, где п — 1,2
7Г , tg (тгп - ~ + 1п)
кп — - + 1п- — где п — 1,2... (6-17)
2 М 4 '
Из (17) можно найти вывести следующие оценки для 1п
~ - arctg {Мтгп) < - arctg 7гп ~ (6.18)
В итоге получили серию ветвей П„(Р) (п = 1,2...), которые монотонно убывают при возрастании Р от 1 до оо и заключены между двумя псевдогиперболами fi = 7ГП— | И £1 — 7ГП— | + 1п, тем самым П —» (тгп— | -Н„)+ при Р -> оо, а П —У оо при Р -> 1+.
Что касается амплитудных функций, то как было уже отмечено, амплитудная функция f(x) =0 при 0 х < оо. При 0 < Р < 1 из формулы (3) видим, что амплитудная функция всегда одного знака и ее модуль монотонно убывает при возрастании а; от —а до нуля. Причем, чем больше 771, тем больший кусок функции eh расширяем или сужаем на отрезок от —а до нуля, тем большим оказывается отношение = ch r/i. Если вспомнить как изменяется 771 от нуля до оо при ненулевом М и при изменении Р от Ро = 1 /л/1 + М до 0, a U — от нуля до оо, то ясно, что чем больше П, тем меньше Р, тем более резко убывает функция f{x) при
1771.
изменении а; от —а до нуля, тем большим будет отношение
7(°)
Также чем больше М при фиксированной частоте и, тем меньше соот-ветствуящая скорость Р, тем меньше г/1 = С1у/Р~2 — 1, тем меньшим оказывается отношение — сЬ г/х.
При 1 < Р < оо из формулы (9) ясно, что амплитудная функция /(аг) = В соз (&а;/а) по сути будет завысить лишь от &. По аналогии с