Онтологические и гносеологические основания математики в программе формализма

• Автор: Алябьев, Дмитрий Иванович
• Шифр специальности: 09.00.08
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 137 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Проблемы и предпосылки формалистского истолкования онтологических и теоретико-познавательных основ математики

§1. Проблема осмысления онто-гносеологического наследия программы

формалистского обоснования математики

§2. Предпосылки формалистского истолкования природы математики в

истории математического знания

§3. Историко-философские предпосылки программы формализма

Глава 2. Интерпретация онтологических и гносеологических основ математического знания: выявление, развитие и реконструкция результатов формализма

§1. Бытийные и теоретико-познавательные аспекты логической

составляющей математики в программе формализма
§2. Формалистское истолкование онто-гносеологического статуса
арифметической компоненты математики
§3. Интерпретация основ геометрической составляющей математики, их отношения к действительности и процессу познания в программе
формализма
§4. Онто-гносеологические аспекты оснований математики в программе формализма: итоги и перспективы, развитие и реконструкция
Заключение
Библиографический список
Приложение

Введение
Актуальность темы исследования
Тема исследования является актуальной в свете ряда обстоятельств.
Во-первых, математические науки в современном мире приобретают все больше значение для человека и его развития, математика все более полно проникает в естественные, гуманитарные, медицинские, технические и другие научные отрасли и это проникновение оказывается неизменно успешным. В связи с этим, выявление места и роли математики в системе наук, выявление связи математических истин и объектов с действительностью и процессом познания выступает в качестве важнейшей задачи, решение которой вполне способно ускорить процессы математизации и развития науки в целом.
Во-вторых, проблемы оснований математики, в том числе ее онтологического и гносеологического обоснования интенсивно разрабатываются со второй половины XIX века, благодаря чему на сегодняшний день существует обширнейшее наследие философско-математического, методологического характера, оценка, обобщение и выявление позитивных компонент, перспективных тенденций которого является важной и далеко еще не решенной задачей философии науки (философии математики, в частности) и истории философии.
В-третьих, ситуация с программой формализма в основаниях математики и, прежде всего, в ее философской составляющей, оказывается в настоящий момент весьма неоднозначной. С одной стороны, цели формализма, история развития, мнения его представителей по разным, в том числе онтологическим и гносеологическим вопросам обоснования математики достаточно обстоятельно исследованы в работах отечественных и зарубежных авторов. Однако известно, что полностью реализовать программу формализма оказалось невозможным, из чего следует, что философско-методологические установки этого течения, а именно - представления о природе математики, ее связи с действительностью и процессом познания, в интерпретации представителей формализма, не вполне
соответствуют настоящему положению дел. В то же время, формализм выступает в качестве одного из наиболее значимых течений, оказавших огромное влияние на дальнейшее развитие математики и ее оснований. В связи с этим естественно возникает вопрос о причине влиятельности формализма, изначально опирающегося, как принято считать, на неточные установки и представления. Этот вопрос в качестве наиболее значимой составляющей, на наш взгляд, включает в себя следующую проблему: как могут быть на сегодняшний день интерпретированы онтологические и гносеологические основы математики посредством анализа способов содержательного введения и функционирования базисных математических понятий в концепциях формализма, а также посредством анализа развития этого течения?
Данная проблема, на наш взгляд, входит в состав проблем, актуальность которых основывается на вышеперечисленных положениях, и в настоящее время не имеет развернутого решения.
Степень научной разработанности проблемы.
Тема диссертации связана, прежде всего, с различными подходами к осмыслению наследия математического формализма. Программа формализма анализируется во множестве работ отечественных и зарубежных авторов.
Это исследования, направленные на рассмотрение проблем теоретикомножественного обоснования математики, путей преодоления трудностей «наивной» теории множеств, с выявлением позитивного вклада программ формализма, логицизма и интуиционизма. Работы, связанные с проблемами методологии науки вообще и математики в частности, в которых происходит осмысление эволюции аксиоматического метода, осмысление роли метатеории в математических дисциплинах. К числу авторов таких исследований относятся И. Бар-Хиллел, Б.В. Бирюков, Л.Г. Бирюкова, В.Н. Брюшинкин, Ван Хао, М. Даммит, В.Н. Катасонов, В.Я. Перминов, Г.И. Рузавин, Р. Столл,
А. Френкель, В.В. Целищев, А. Чёрч, С.А. Яновская и др.
назвать стремление разработчиков сформировать фундамент из базисных понятий, на основе которых происходит построение выводов и доказательств, а также важность символизации для объектов и операций над ними. Центральное место в данном разделе занимает понятие бесконечно малой величины, являющееся абстрактным, основополагающим понятием. Мнение Ньютона относительно геометрии имеет некоторые общие черты с позицией Гильберта47. Ньютон пишет: «Итак, геометрия основывается на механической практике и есть не что иное, как та часть общей механики, в которой излагается и доказывается искусство точного измерения»48. Общие идеи в трактовке геометрии состоят в том, что оба автора сравнивают ее с эмпирической наукой. Ньютоновскую аналогию геометрии с механикой, а также стремление строго сформулировать правила манипулирования объектами в разрабатываемых разделах математики, можно назвать тенденцией к механизации процессов доказательства в математике. Таким образом, если указанные операции будут выступать в роли механических манипуляций, то содержательная сторона объектов, с которыми происходят данные манипуляции, не имеет значения. Это есть не что иное, как ярко выраженная предпосылка аксиоматизации и формализации математического знания49. Фактически, можно говорить о достаточной схожести идей Ньютона и Гильберта в отношении математики, и что многие представления Ньютона развиваются в дальнейшем Гильбертом.
Близкие к вышеизложенным идеи высказывает и Лейбниц. Он, отдельно от Ньютона, разработал принципы интегрального и дифференциального исчисления, но идет значительно дальше и стремится формализовать не только математику как раздел науки, но и осуществить полную формализацию мышления, преобразовав его в исчисление. Воплощение этой идеи в жизнь позволило бы сводить любую познавательную проблему к операциям,
47 См.: Гильберт Д. Познание природы и логика //Д. Гильберт. Избранные труды. Т. I. - М.: Факториал, 1998. -С. 463.
48 Ньютон И. Математические начала натуральной философии // Пер. с лат. и коммент. А.Н. Крылова.- М.: «Наука», 1989. - С. 2.
49 Подробнее об этом: Юшкевич А.П. Дифференциальное и интегральное исчисление. / История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. Том 11. Под ред. А.П. Юшкевича. — М.: Наука. 1970. - С. 218.