Онтологические основания математики : категориальный анализ

• Автор: Букин, Дмитрий Николаевич
• Шифр специальности: 09.00.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 334 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Теоретико-методологические основы исследования онтологических оснований математики
1.1. Соотношение математики и действительности как ключевая проблема онтологии математики

1.2. Объекты математики в истории философии

1.3. Онтологические основания математики: концептуализация понятия

Глава 2. Атрибутивная система онтологических оснований математики: структура и развитие
2.1. Качество, количество и пространство как фундаментальные категории, структурирующие математическое мышление

2.2. Историческое развитие атрибутивной системы онтологических

оснований математики

Глава 3. Модальная система онтологических оснований математики: структура и развитие..............................,................,..,.
3.1. Необходимое и возможное как объекты математики
3.2. Эволюция модальной системы онтологических оснований
математики
Глава 4. Объекты математики в жизни человека и общества
4.1. Социально-гуманитарные аспекты бытия объектов математики
4.2. Онтологические проблемы современного преподавания
математики
Заключение
Список использованной литературы
Приложения
Введение
Актуальность исследования. Построение целостной научной картины мира, объединяющей философию, математику, естественные и гуманитарные науки представляет собой важную проблему, решение которой призвано помочь человеку найти ответы на актуальные во все времена мировоззренческие вопросы - о смысле жизни, о роли и месте человека в мире, о границах познания и т.д. В значительной степени ответы на эти вопросы связаны с представлениями об онтологических основаниях такой фундаментальной науки, как математика, на языке которой написана «книга природы» (Г. Галилей).
Традиционно изучением оснований математики занимается философия математики, в рамках которой решаются проблемы существования математических объектов, кризиса оснований математики и т.п. Ни по одному из этих вопросов, однако, до сих пор не достигнуто единства понимания. Во-первых, отсутствует единое мнение относительно природы математического объекта; во-вторых, продолжаются споры об универсальных принципах обоснования достоверности математического знания, в качестве которых рассматриваются самоочевидность, интуиция, логическая необходимость, формальная непротиворечивость и т.д. Отвечая на вопрос о природе математики, представители различных направлений либо видят в ней своеобразную «игру ума», порождающего особые конструкции в разуме субъекта (математический конструктивизм), либо связывают с особым трансцендентным миром абстрактных сущностей (платонизм), либо исходят из физикалистской трактовки ее оснований (математический натурализм, операционализм, номинализм).
В настоящее время связь математики с онтологией уже не выглядит столь естественной, как это было несколькими столетиями ранее. С одной стороны, признается, что идеальные по своей природе математические объекты, порождаемые человеческим разумом, имеют статус универсальных и

общезначимых инструментов эффективного описания различных сторон окружающей действительности; с другой стороны, остается открытым вопрос об онтологической укорененности таких объектов, как математические категории, функторы, псевдоструктуры и т.п. Представление о сути и роли онтологизации математики значительно изменилось, а современные математики, в отличие от их предшественников, таких, как Н.И. Лобачевский,
А. Пуанкаре, Г. Кантор, А.Н. Колмогоров и др., все реже обращаются к философскому осмыслению своей деятельности. Использование сверхмощных ЭВМ в проверке и доказательстве фундаментальных положений теоретической математики подчас создают иллюзию бессмысленности их онтологического обоснования. Величайшая из точных наук утрачивает признаки объективного знания, все больше трансформируясь в некую прикладную научную, область, приоритетом которой является, инструментальное преобразование мира,, но не его осмысление. Особенно это заметно в сфере преподавания математики,, где остро стоят проблемы математической дефиниции, интерпретации предмета математики, развития у учащихся аподиктического . и , вероятностного мышления и т.д.
На фоне пристального внимания к математическому знанию как к эпистемологическому феномену открытым остается , вопрос о. внутренней логике самого постигаемого бытия, наталкивающий на мысль.. об онтологической обусловленности внеопытного математического познания мира.. На наш взгляд, в современной философии назрела .необходимость «возвращения» структур реального мира в процесс обоснования математического знания. В этой связи особую актуальность приобретает тема онтологических оснований математики как формы данности объективной реальности познающему,субъекту. ;?
Степень разработанности проблемы. Взаимосвязь математики и реального мира изучена в философии нё так глубоко, как, например, вопросы существования математического объекта, кризиса, оснований математики или

математики (быть может, сами не отдавая себе в этом отчета) оказались перед серьезным выбором той философии, без которой можно смотреть на мир, но нельзя его видеть. Значительную роль в разрешении сложившейся ситуации сыграли И. Кант и Г. Гегель, которые, основываясь на современных им достижениях математики, довели анализ проблемы бесконечно малых до понимания их закономерной диалектической противоречивости63. А ведь именно такого рода противоречия, как отмечает Г.И. Рузавин, «в наиболее острой форме приводили к кризисам в основаниях математики»61.
К сожалению, указания на диалектическую природу кризиса, данные представителями немецкой классической философии, не нашли должного отклика в среде математиков XIX столетия (за исключением, быть может, А. де Моргана и Б. Больцано). Пусть значимые, но все-таки фрагментарные .победы, одержанные математическим анализом, не стали гарантами. его
непогрешимости (так, например, открытым остался вопрос о том, почему
бесконечные величины це могут являться корнями алгебраических уравнений).
Неудивительно, что через относительно непродолжительное , время разразился третий кризис оснований математики, связанный с обнаружением парадоксов в теории множеств Г. Кантора. Философскому анализу этой
ситуации посвящено достаточно большое количество исследований, и
практически все они исходят из того, что множество - особый математический объект, являющийся результатом мысленного созерцания, абстрагирования, и т.п., и, следовательно, имеющий весьма отдаленное отношение к объективной реальности. Что же касается актуальной бесконечности, то она настолько абстрактна и «удивительна», что ее нужно либо возвести в ранг существующей, но непонятно где (Г. Кантор, Г. Фреге), либо запретить как нечто неистинное, недостойное бытия (Л. Кронекер, интуиционисты). . - . , ,
В.А. Светлов пишет: «Был ли на самом деле кризис математики? Ни одна из существующих в то время математических теорий не была признана
63 См., например: Гегель Г.В.Ф. Наука логики В 3 т. Т. 1. М.: Мысль, 1970. 501 с.-