Асимптотические свойства повторяющихся игр с неполной информацией и моделирование динамики финансовых рынков

• Автор: Сандомирский, Федор Алексеевич
• Шифр специальности: 08.00.13
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 с.

Содержание
Введение

1 Базовые факты теории повторяющихся игр

с неполной информацией

§ 1.1 Основные определения и классические результаты

1.1.1 Цена информации при большом числе повторений

и максимальная вариация

1.1.2 Случай бесконечных К, I и J

§ 1.2 Сведение игры к мартингальной оптимизационной задаче

§ 1.3 Повторяющиеся игры с неполной информацией и моделирование

финансовых рынков
1.3.1 Непрерывные модели
1.3.2 Дискретные модели
2 Повторяющиеся игры с ограниченной ценой информации
§ 2.1 Мотивировка
§ 2.2 Достаточное условие ограниченности
2.2.1 Модельная одномерная задача
2.2.2 Модельная задача как редукция 2 х 2-игры
§ 2.3 Необходимое условие ограниченности цены информации
2.3.1 Модельная одномерная задача
2.3.2 Завершение доказательства Теоремы 2.
3 Максимальная изменчивость мнения при длительном
байесовском обучении
§ 3.1 Определение максимальной вариации
§ 3.2 Классические оценки максимальной вариации и проблема
расходимости
§ 3.3 Энтропийные оценки максимальной вариации
3.3.1 Неулучшаемость оценки А. Неймана
3.3.2 Другие оценки максимальной вариации через энтропию
Шеннона

§ 3.4 Оценки максимальной вариации сверху: счетное множество
состояний
3.4.1 Оценки вариации скалярных ограниченных мартингалов .
3.4.2 Д(А')-значные мартингалы
§ 3.5 Аномальный рост максимальной вариации
3.5.1 Мартингал диадических расщеплений для р е Д(М)
§ 3.6 Случай континуального множества состояний
3.6.1 Оценки максимальной вариации сверху
3.6.2 Линейный рост максимальной вариации для р с нетривиальной непрерывной компонентой
4 Максимальная скорость роста цены информации в повторяющихся играх при N —> оо
§ 4.1 Повторяющиеся игры со счетным множеством состояний:
аномальный рост цены информации
4.1.1 Игра &м(р) и ее свойства
§ 4.2 Обобщение на континуальный случай: игры со всюду разрывными
платежами
§ 4.3 Регулярные одношаговые функциями выигрыша: цена
информации и е-энтропия Колмогорова
4.3.1 Оценки цены информации через е-энтропию
4.3.2 Применение к играм с регулярными одношаговыми функциями выигрыша
Заключение
Список литературы

Введение
Представленная диссертация посвящена теоретико-игровому анализу информационных аспектов длительных многоэтапных социально-экономических взаимодействий.
Актуальность темы исследования. Социально-экономические взаимодействия людей или групп людей связаны с неопределенностью, а значит, с неполнотой информации у участников. Причем неполнота информации может меняться от участника к участнику. Ее источником может являться как различная информированность о свойствах самого взаимодействия и различные способности предвидеть будущее, так и невозможность знать достоверно все свойства оппонентов: цели, к которым они стремятся, и имеющуюся у них приватную информацию — их собственные представления о свойствах взаимодействия, о будущем и о других агентах.
Социально-экономические взаимодействия происходят во временной перспективе, и, соответственно, анализ поведения оппонентов в прошлом позволяет уточнять представления об их целях и имеющейся у них информации, а уточненные представления могут быть использованы, чтобы скорректировать поведение в будущем. Это обуславливает сложную информационную, а следовательно, и стратегическую природу продолжительных взаимодействий: выбирая план действий, необходимо учитывать не только сиюминутную выгоду, которую принесет то или иное действие, но и информацию, которую оно сообщит другим участникам.
Математическим моделированием информационных аспектов многошаговых социально-экономических взаимодействий занимается теория повторяющихся игр с неполной информацией — раздел теории игр, возникший в работах Нобелевского лауреата по экономике Р. Ауманна и М. Машлера (см. [9]). Центральную роль в теории играют асимптотические постановки при большой продолжительности взаимодействия, так как в силу сложной стратегической природы явные решения удается найти лишь в очень редких случаях. Основная часть известных результатов относится к ситуации, когда взаимодействуют лишь два игрока с полностью противоположными интересами, и неполная информация имеется лишь у одного из них (например,

Таким образом, имеется полная характеризация возможных асимптотических поведений цены информации в почти-честных играх (с точностью до требования 3):
• цена информации может оставаться ограниченной при N —»• оо и, соответственно, стремится в силу монотонности к конечному пределу;
• цена информации может расти как уИ.
Тем самым исключается логарифмическое поведение цены информации с ростом N. которое наблюдается, например, в игре, отвечающей матрицам
исследованной Ш. Замиром в [34]. Легко видеть, что значение соответствующей нераскрывающей игры представляет собой параболу р( 1 — р). где р вероятность выбора случаем матрицы А1. То есть эта игра не является почти-честной.
Для доказательства Теоремы 2.2 мы вновь используем метод редукции к мартингальной оптимизационной задаче (см. § 1.2). Так как на этот раз нас интересует оценка снизу на рпсе[Глг(р)], нам потребуется получить соответствующую оценку на значение игры Г^(А). Ее удается установить, рассматривая локальное поведение по р оптимальных стратегий в игре Гфк(р). Для этой цели анализируются аналитические возмущения матричных игр. Полученные результаты позволяют свести проблему оценки рпсе[Гдг(р)] к анализу модельной задачи, с исследования которой мы и начнем.
Пусть о>2, <^з... — последовательность независимых бернуллиевских
пространстве (П,^7,Р). Порожденная ими фильтрация ^>0 называется диадической. Мартингалы, согласованные с ^>01 также называются диадическими.
2.3.1 Модельная одномерная задача
случайных величин с вероятностью успеха |, заданных на вероятностном