Численное решение задач тензорной и эмиссионной томографии

• Автор: Бухгейм, Александр Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 101 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. ^-аналитические функции и задачи томографии

Введение

§ 1. Комплексная интерпретация уравнения переноса

§ 2. Формула Коши в полярной системе координат, оценка скорости сходимости проекционного метода

§ 3. Численные примеры

§ 4. Сингулярное и полярное разложения оператора в гильбертовом пространстве

Глава 2. Формула обращения веерного преобразования Радона с поглощением в круге

Введение

§ 1. Формулировка задачи

§ 2. Веерное преобразование
§ 3. Формула обращения
§ 4. Численная реализация
Глава 3. Сингулярное разложение веерного преобразования Радона тензорных полей в круге
Введение
§ 1. Постановка задачи и метод ее решения
§ 2. Тензорные поля в комплексных координатах
§ 3. Полиномы Цернике
§ 4. Построение ортогональных полиномиальных базисных тензорных полей
в круге
§ 5. Численные эксперименты
Заключение
Литература

Введение
Как известно, термин “томография” происходит от греческого корня тодоег — слой, сечение, срез. Его появление связано с тем, что в различных областях науки, медицины и техники удобно восстанавливать изображение неоднородного трехмерного объекта послойно.
Теоретические предпосылки классической рентгеновской томографии были заложены около ста лет назад: в 1895 году Рентген открыл так называемые Х-лучи, оказавшиеся впоследствии электромагнитным излучением с длинами волн от 10-2 до 10 нм., и сделал впервые рентгеновский снимок руки своей жены. В 1917 году Радон рассмотрел задачу восстановления функции в пространстве К” по интегралам от этой функции по всевозможным гиперплоскостям и получил для этой задачи явную формулу обращения.
Только к середине семидесятых годов эти два замечательных открытия соединились в прибор, названный рентгеновским томографом. За его разработку английский инженер Хаунсфилд и американский математик Кормак в 1979 году получили Нобелевскую премию по медицине.
В настоящее время термин “томография” порой просто означает решение той или иной задачи неразрушающего контроля или обратной задачи возникающей в приложениях: сейсмическая томография — получение “изображений” земных недр; электро-импедансная томография — восстановление проводимости тела на основе измерения отображения Л7, дающего по входному напряжению его поток на границе:
7(ж) — искомая проводимость; ультразвуковая томография в медицине и т.д.
В данной работе мы используем термин томография в более узком смысле, понимая под ним задачи интегральной геометрии, возникающие в приложениях. Задача интегральной геометрии состоит (см. [GGV62]) в отыскании неизвестной функции (вещественной / комплексной / векторной / тензорной), заданной на многообразии ft размерности п (dim ft = п) из функционального пространства U (например, U = С“ (ft)) по интегралам
div(7(.T)Vu) = 0, ft £ Г,
« — J — заданный потенциал,
•Л-7 •' / — измеренный поток,
ди Ian

где М(A) 6S1- заданное семейство подмногообразий, зависящих от параметра А € Q, a dS — мера, заданная на М, зависящая в общем случае тоже от А. Предполагается, что dim <7 > dimH > dimM(A) = то. Обычно рассматривают случаи 0 < dimM < dimH, однако вырожденные случаи dimM = dimfi и dimM = 0 тоже могут представлять интерес. Для приложений в основном рассматривают случаи dim М = dimQ — 1 или dimM = 1. Рассмотрим простейший одномерный пример.
Пример. Q = (О, Т) ~ Q, А = х, М(х) = (0, ж). Мера задана с весом: dSx = V(x,y)dy. Задача определения функции и(х), заданной на П, по ее интегралам по всевозможным отрезкам М(х) — (0, ж) записывается в виде уравнения Вольтерра первого рода:
Таким образом, дифференцированием данная задача сводится к уравнению Вольгер-ра второго рода, которое всегда имеет единственное решение. Иногда М(А) = М(А, и) и сЬЭх = dSx,ut тогда задача становится нелинейной.
Примеры многомерных задач интегральной геометрии:
• Задача Функа. Найти функцию /, заданную на сфере, если известны интегралы по всевозможным “экваториальным” сечениям. Понятно, что функцию / можно определить только в классе четных функций, т.к. для нечетных функций все такие интегралы будут нулевыми.
• Задача Радона. Определить функцию /, заданную в тг-мерном пространстве по значениям интегралов от этой функции по всевозможным гиперплоскостям.
• Задача Адамара. Определить функцию в полупространстве по значениям интегралов на семействе полусфер, центры которых пробегают Гранину' полупространства.
• Задача Джона. Ищется функция в гг-мерном пространстве по ее интегралам по всевозможным единичным (гг — 1)-мерным сферам с центрами в гг-мерном пространстве.
Задачи интегральной геометрии, связанные с теорией представлений групп Ли, исследовались в работах И. М. Гельфанда, М. Н. Граева, Н. Я. Виленкина, С. Г. Гин-дикина (см. [ССУ62, ССДОО]).
Задачи интегральной геометрии, связанные с обратными задачами математической физики, стали рассматриваться в работах М. М. Лаврентьева, В. Г. Романова, Ю. Е. Аниконова и их последователей с середины 60-х годов (см. [Атг86, Аш78, Аш83, АшЭО, Аш98, АВ.79, АИ82, ВАЬ88, ВС78, ВЬ73, Ы181180, 1Д91, Со195| и указанную там литературу).
Несколько позже, в работах X. К. Абена [АЬп75], В. Д. Зимина и В. И. Шахудри-на ^8Ь87], В. А. Шарафутдинова [ЭЬаЭЗ, ЭЬаЭф 8Ьа95, ЭЬаЭб] и Л. Н. Пестова [Р8Ь88], Е. Ю. Деревцова [Пег96] и других авторов, стали рассматриваться задачи тензорной томографии.
Если Vx (х, у) 6 Laс(0, Т), V(x,x) = 1, то
(.I + V')u = и(х) -1- / УДж, y)u{y)dy = f'(x).

/1 оо п
(£»(*, <р) = ( -(/ - й>(вИ)(*,■)) (<-р) = ЕЕ Сп>к |'_^^е(2(п—/е)+1)гу5^7г+
' ' п=0 к=0 ' '
(2.10)
/ * ч оо гг
{В~у){ф) = (-(/ + *Г)т<0^,.)) Ы = ЕЕ^тту е~(2к+1У(р^п+1 ^
' ’ п=0 к=0 ' '
Формулы (2.9)—(2.11) дают нам сингулярное разложение (ЗУБ) веерных преобразований Радона £>(ооИ), £)~ как операторов из 1,2(Щ в 12([0,27г) х [0,2эг)).
(Подробнее про сингулярное разложение преобразования Радона см. в главе 3.) Как известно (см. [МавЭО, Маг74, Ка186]), метод сингулярного разложения является одним из способов решения некорректных задач. Используя (2.9) мы можем описать образ оператора Г)(осИ), численно реализовать алгоритм обращения и оценить степень некорректности задачи. Также, имея разложения (2.8) или (2.9) мы можем аналитически вычислить преобразования Гильберта от (2.9), (2.10) и (2.11).
Следующая лемма следует из сингулярных разложений (2.9)—(2.11).
Лемма 1. Пусть у(г) € 1г(®), тогда
(Г(Б±д)(е^.))ф>) = ±г(Б±д)(е^), (2.12)
(Г(1>±:р)(-,1р))(/?) = Тг(В±у )(ег/),у). (2.13)
З^есъ Г — преобразование Гильберта (1.11а), I — тождественный оператор.
Замечание. Используя обозначение 0 для тензорного произведения операторов, из (2.12) и (2.13) можем получить
((Г ® /)(Б±д))(е^, <р) + ((/ 0 Г)(Л±М))(е^, у) = 0.
Лемма 2. Пусть у (г) £ В2(Щ, тогда
дв(В^м)у) = <р)е** + (Г(ой)А)2(г, ч>)е* = ф), (2.14)
дв(0±у) = ф±у)ф, + {В±у)ф, <р)е* = ~у(г), (2.15)
(Др)(г,у>) = 2(^)0^) - 2(Б±д)(е^-^,9). (2.16)
Доказательство. Формула (2.16) получена интегрированием (2.15).
Мы предполагаем, что у — известная функция, на практике она может быть определена по дополнительным трансмиссионным данным, т.е. используя веерное преобразование Бу. Пусть функция поглощения задается (или аппроксимируется) вещественнозначным полиномом степени N

//(.£, ф ~ ^ ^ ^ %) ? (2-1Г)
п—0 к—
и, так как функция у вещесгвеннозначна, на коэффициенты налагается условие
Сп,к ( 1) С-п,п~к} & 0, ,71.