Моделирование линейных динамических систем методом точечных представлений

• Автор: Осипов, Владимир Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 226 с. : ил.

Содержание
Введение
Часть 1. Основы метода точечного моделирования Глава 1. Точечное изображение функций
1. Векторное изображение функций. Точечный изображающий N - вектор
2. Выбор оптимальной 14- сетки
3. Восстановление функций по их точечным изображениям
3.1. Восстанавливающие модели интерполяционного сглаживания
3.2. Интерполяционная модель с нечетными косинусами
Выводы
Г лава 2. Т очечное представление линейных операторов
1. Алгебра точечных изображений
2. Точечное представление линейных операторов
3. Точечно - матричные представления операторов сдвига
4. Матрицы полиномиального сдвига (Р - матрицы). Алгебраические структуры. Г омоморфизмы
5. Р - матричное представление оператора интегрирования
Выводы
Часть 2. Точечное моделирование линейных динамических систем Глава 3. Точечное моделирование и решение линейных дифференциальных уравнений
1. Матрицы полиномиального интегрирования и уравнения в
2. Уравнения с постоянными коэффициентами
3. Дифференциально - разностные уравнения с запаздыванием
3.1. Преобразование к задаче Коши
3.2. Решение методом точечных представлений
4. Уравнения с переменными коэффициентами
Выводы
Глава 4. Точечное моделирование операции свертки
1. Свертка, как обобщенный интегральный оператор
2. Векторная свертка. Гомоморфизмы сверточных алгебр
3. Теорема о точечном изображении свертки и преобразование Лапласа
4. Связь точечных векторных изображений функций и их изображений по Лапласу
5. Случай дробно - рациональных операторных изображений
Выводы
Глава 5. Точечное моделирование линейных динамических систем
1. Связь “вход - выход” в точечных представлениях для линейных динамических систем. Точечные динамические характеристики
2. Типовые динамические звенья в точечных представлениях. Структурные соединения и преобразования
3. Расчеты переходных процессов методом точечных представлений
3.1. Оценка степени устойчивости и времени переходного процесса для линейных стационарных динамических систем
3.2. Определение точечных переходных характеристик (ПХ) непосредственно по передаточной функции (ПФ) динамической системы
3.3. Определение точечных изображений переходных характеристик (ПХ) по вещественной частотной характеристике (ВЧХ) линейной динамической системы

Выводы
Основные результаты работы и выводы
Литература
Приложение к Г лаве
Приложение к Г лаве
Приложение к Главе
Приложение к Г лаве

Введение
Актуальность и состояние проблемы
Применение математических методов - мощного инструмента познания и исследования, в разнообразных отраслях знаний и сферах человеческой деятельности становится возможным лишь при предварительном создании математических моделей изучаемых явлений. Бурное развитие вычислительной техники существенно стимулирует этот процесс.
Математическое моделирование становится, по существу, важнейшей частью современной прикладной математики и не только прикладной. Классы и типы математических моделей, как математические объекты, сами становятся предметами теоретических исследований.
Математическими моделями управляемых динамических систем служат неоднородные дифференциальные уравнения различного вида. Многие важнейшие свойства управляемых динамических систем рассматриваются на конечном промежутке времени, хотя соответствующие временные сигналы (процессы) теоретически имеют бесконечную длительность. Для описания (моделирования) таких процессов и их взаимодействий (в линейных стационарных системах) хорошо приспособлен и широко используется метод опера-торно - частотных представлений, основанный на применении преобразования Лапласа и Фурье. Однако, этот математический аппарат оказывался неэффективным и малопригодным для решения задач современной теории управления динамических систем, связанных по своему содержанию с конечным промежутком времени. Это задачи управления и наблюдаемости и, особенно, разнообразные задачи терминального управления и др. Этот аппарат совершенно не и годится для описания (моделирования) нестационарных и нелинейных динамических систем. Другие математические методы, используемые в современной теории управления динамическими объектами (общая теория дифференциальных и интегральных уравнений, функциональный анализ и др.), играющие фундаментальную роль, в прикладном отношении часто оказываются недостаточно конструктивными и мало приспособленными для компьютерной реализации.
В связи с этим, остается актуальным разработка эффективных приближенно - аналитических методов моделирования и решения на их основе разнообразных задач прикладной теории управляемых динамических систем, а также соответствующих компьютерных технологий.
Отметим получивший широкое распространение математический метод, основанный на замене непрерывных (аналоговых) сигналов их значениями в дискретные моменты времени (квантование) с последующей аппроксимацией дифференциальных уравнений, описывающие динамику объектов управления, соответствующими разностными уравнениями.
Используемые при этом дискретное преобразование Лапласа и Z - преобразование создают аналитический аппарат моделирования непрерывных динамических систем, более конструктивный, чем традиционный подход [35, 73, 76, 91].
Вместе с тем, этот аппарат в значительной степени сохраняет те же недостатки, которые присущи традиционному подходу, основанному на преобразовании Лапласа.
Кроме того будучи приближенным метод дискретных представлений порождает свои проблемы: точность (адекватность представлений), численная устойчивость др. Эти важные вопросы вычислительной математики практически не рассматриваются в специальной литературе по теории дискретных (импульсных) систем, создавая иллюзию полного обоснования и универсальной эффективности метода.
Между тем, существующая теория дискретного моделирования непрерывных динамических систем далека от своего завершения. Ее математические основы нуждаются в более строгой проработке, совершенствовании и развитии.

Рис.З. Кривые функции (3.1.41) и соответствующие кривые ее моделей
Ординаты моделей неотмеченные точками, практически совпадают при выбранном масштабе, что имеет место для более половины последующих узлов сетки. Исключение составляет, пожалуй, модель 8®(<5/;т) (3.1.26) (4 - ый столбец табл.2), имеющая наименьшую точность среди всех моделей. Заметную погрешность в начале промежутка [0,1) имеет и модель (СЙ№т)(ЗЛ.39).
Наиболее точной, в рассматриваемом примере, оказалась простая интерполяционная модель 8м(р;т) (3.1.10) с квадратурными коэффициентами Фурье (3.1.8), которые ( при фиксированном 14) имеют, как уже отмечалось, максимально возможную точность определения, т.к. на чебышевской N - сетке (3.1.1) реализуется метод наименьших квадратов.
Расчеты по табулированию проведены и при N=12 и N=16. Результаты в виде таблиц типа таблицы 2 здесь не приводятся по соображениям экономии места. Однако имеющиеся материалы подтверждают ранее сделанные выводы.
Наиболее точной остается модель (3.1.10). При N=16 ее значения во всех 32 узлах сетки (3.1.42) совпали со значениями функции (3.1.41) в этих узлах (в пределах принятой расчетной точности). Наименее точными остаются модели (3.1.26) (3.1.39), хотя и не столь уже значительная погрешность, как при N=8, сохраняется по-прежнему в 4 - 5 узлах сетки. В последующих узлах эти модели, как и все другие, при N=12 и N=16 дают значения, практически совпадающие с точными.
Разумеется, проведенный анализ носит лишь частный характер, как выполненный на основе одного частного примера. Тем не менее, в нем, по-видимому, проявляются и более общие свойства рассмотренных моделей.