Алгоритм нахождения собственных чисел возмущенных дискретных самосопряженных операторов

• Автор: Кинзина, Ирина Ивановна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Магнитогорск
• Количество страниц: 169 с.

Глава 1. Основные понятия

1.1. Спектр и резольвента оператора

1.2. Вполне непрерывные операторы

1.3. Самосопряженные операторы

1.4. Корневые векторы и корневые подпространства оператора

1.5. Теоремы о следах оператора в конечномерном пространстве

и ядерного оператора

1.6. Неограниченные операторы

1.7. Следы дискретных операторов

Глава 2. Теоретическое обоснование нового метода нахождения первых собственных чисел возмущенных дискретных полуограниченных операторов

2.1. Система уравнений для нахождения первых собственных чисел

оо ,
2.2. Оценки остатков рядов поправок 52 аф'(т)

2.3. Вычисление поправок а^т) теории возмущений оператора Т+Р

2.4. Вычисление сумм рядов поправок ®к(т)
4=і
Глава 3. Теоретическое обоснование нового метода нахождения первых собственных чисел с большими номерами возмущенных дискретных полуограниченных операторов
3.1. Система уравнений для нахождения собственных чисел
с большими номерами

3.2. Оценки остатков числовых рядов 52 Рк Лт)
со ,
3.3. Вычисление членов ряда 52 Рк т)

3.4. Вычисление сумм числовых рядов 52 Рк т)

3.5. Алгоритм вычисления собственных чисел возмущенных
дискретных полуограниченных операторов
Глава 4. Численные эксперименты
4.1. Спектральная задача Орра-Зоммерфельда

4.2. Возмущенный оператор Лапласа
Основные результаты и выводы
Приложения
Приложение А
Приложение Б
Приложение В
Список литературы

Постановка задачи. Рассмотрим дискретный самосопряженный полуогра-ниченный снизу оператор Т и линейный ограниченный оператор Р, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Пусть {Ап}^=і — собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания с учетом кратности, а {Тп}^=г — ортонормированный базис из собственных функций, соответствующих этим собственным числам. Обозначим через {Дп}“=і собственные числа оператора Т+Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом
алгебраической кратности. Если существует щ Є N такое, что для любого п > п0
^ / X 2||Р|[
при условии Ап ф Ап+1 выполняется неравенство дп — ——-—г < 1, то при
|^П+1
условии Ат Ф Ат+і первые тп > щ собственных чисел {/?п}=1 оператора Т + Р являются решениями системы тп уравнений
ТП ТП
= XIХк + £акт) + Є N. р = Тфт. (0.1)
к= к=1 к
Здесь а^тп) = ^ ^Эр / Ар_1 ^А — поправки теории возмущений
т , 1 ДРІЛтї - Vі ЛЇЇ(
I ТП *1" А771-І-ІI
с центром в начале координат комплексной плоскости, Яд СП
зольвента оператора Т.
Правые части уравнений (0.1) явно выражаются через собственные числа и собственные функции невозмущенной задачи и возмущающий оператор.
В.А. Садовничий и В.В. Дубровский впервые в работе [69] высказали идею нового метода вычисления первых собственных чисел возмущенных дискретных операторов с помощью системы (0.1). Она состоит в следующем. Используя теорию симметрических многочленов и формулы Ньютона, нахождение корней системы (0.1) сводится к нахождению корней многочлена степени тп, коэффициенты которого могут быть найдены со сколь угодно большой точностью. Поэтому погрешности вычисления первых тп собственных чисел {Рп}п=1 оператора Т + Р зависят от того, как точно вычислены правые части системы (0.1).
На основе исследований В.А. Садовничего и В.В. Дубровского С.И. Кадчен-ко теоретически обосновал новый метод приближенного вычисления первых собоператора Т+Р, £г (тп) = £7 ак(гп)’ Тт — окружность радиуса рт =
Р к=ір+1
^1Рзі'Рзк){РіРзкіТзк-і){РТзк-чТзк-2ІРР31РР32 • • •РРЗк-3РЧ}Зк-2 ~
= ... = (ір,, <Рп)(Р<Рзк , Т]к-і) (р^я-, - ^Зк-2) • • • (РіРз 3.4>п)рріір4>п
= {Ч>}, Ч>зк){р<Рзк> Рй-і)(ЛРй-і> Рл_,) • • • (Р<РЯ> Ч>зг)р{рЧ>32. =
= {Ч>з’4>зк)(.р4>3кі Ч’зк-Ж'Рзк-кТзк-*) • • • (^в. <Ря)(^»і Ч>п)рЧ>з» где Р, — проекционный оператор, определяемый равенством Р;^ = ( (РРзіРР32 ■ • ■ ррзкМз)
= (Ч>зі'РзЖрЧ>зи>Ч>зк-і)(рЧ>зк-і>¥>л-ї) • • • {Р(Рз3^32){рТз2^зі)(РіРзі^з)
°> З Ф Зк,
(уЗі ТзіУ^ЗкЗк-І^Зк-Зк-2 ■ •ш ИзІгИгЦ^ІИ ~ '
П ^1«К> З ~~ Зк-
< 4
Теперь используя равенство ДдСП = 57 т г и определение матричного слеі=і Аі
да, выведем формулу для вычисления поправки.
““(т)= мГ8р/л''І[і(т)]‘‘ІА

- {~1)кр £ ( / А^РДлСП^А ір3, ъ) = з=і І
2 тк
(~1 )кР 2 тк
Ё(МЁз£У‘л*»)-
1=1 Т 1

00 00 / Г хр
Е Е (гРн-ГРнМ,) ]-і-«
1=1 11,12, >1к
гт п (А- Аіт)

АР“1
-Ц Е (П^гЬ/т^—'«.
1.Л, л-1 *=і г{ П(А-АЛ)

Функция

в ограниченной окружностью Тт области имеет в точках А„
£ " 1Г “ ~ -ТО -
П (А - А^)
4
п — 1, т, полюсы кратности /„. Это число определяется количеством совпадений = п, ^ = 1, к, поэтому на основании теоремы о вычетах имеем