Итерационное решение задач движения идеальной и вязкой несжимаемых жидкостей

• Автор: Балаганский, Максим Юрьевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 159 с. : ил.

Оглавление

Введение

Глава 1. Итерационное решение систем линейных алгебраических уравнений

§1 Постановка задачи

§2 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений с

незнакоопределенной почти особенной матрицей

2.1 Итерационная схема неполной аппроксимации

2.2 Асимптотическое свойство схемы

2.3 Ускорение сходимости

2.4 Многопараметрическая оптимизация
§3 Движение идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости
3.1 Уравнение Гельмгольца
3.2 Разностная схема
3.3 Тестовые расчеты
Глава 2. Итерационное решение систем нелинейных алгебраических уравнений
§ 1 Постановка задачи
§2 Итерационная градиентная схема решения систем нелинейных алгебраических уравнений
2.1 Явная итерационная схема
2.2 Многопараметрическая оптимизация
2.3 Ускорение сходимости
§3 Модельное уравнение переноса
3.1 Уравнение Бюргерса

3.2 Разностная схема
3.3 Сравнительные расчеты
Глава 3. Решение систем нелинейных дифференциальных уравнений Навье-Стокса
§1 Двухмерная задача движения вязкой несжимаемой жидкости в
формулировке «функция тока»-«вихрь»
1.1 Постановка задачи
1.2 Разностная схема
1.3 Тестовые расчеты
§2 Двухмерная задача движения вязкой несжимаемой жидкости в
формулировке «скорость»-«давление»
2.1 Постановка задачи
2.2 Разностная схема
2.3 Тестовые расчеты
§3 Трехмерная задача движения вязкой несжимаемой жидкости в формулировке «скорость»-«давление»
3.1 Постановка задачи
3.2 Разностная схема
3.3 Тестовые расчеты
Заключение
Введение
В соответствии с изречением греческого философа Гераклита, который говорил «все течет...», в повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с течением обычных жидкостей: воды, воздуха, крови и т.д., в очень простых ситуациях таких как дыхание, мытье рук и т.п.
Большинство течений имеет природное (океаны, моря, ветер) и техногенное происхождение (самолеты, машины, биоинженерия). Существует потребность в моделировании проблем течения жидкостей, с целью лучшего понимания сложных явлений и повышения качества технологий. С появлением новых вычислительных инструментов моделирование становится все более подходящим для проведения экспериментов. При некоторых обстоятельствах, прямой эксперимент может быть слишком дорог и даже привести к разрушению исследуемого объекта, таким образом, моделирование является единственным способом изучить параметры исследуемой системы.
Появление компьютеров привело к развитию вычислительной гидродинамики. В начале, новая дисциплина принесла надежду, что вычисления могут открыть дорогу к моделированию трехмерных течений с высоким числом Рейнольдса. Реальность разрушила эти наивные ожидания. До сих пор остаются актуальными многие проблемы, ограничивающие использование существующих численных методов решения.
Большинство течений, с которыми человеку приходится сталкиваться, имеют нелинейную природу. Таковыми, например, являются течения вязкой несжимаемой жидкости, движение которой описывается нелинейными дифференциальными уравнениями Навье-Стокса. Используя различные упрощения моделей гидродинамики можно нелинейную задачу свести к линейной. Например, течение идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости в приближении Буссинеска описывается одним линейным дифференциальным уравнением Гельмгольца относительно функции тока. Упрощенные модели

Пусть z" — вектор, все элементы которого равны 1, тогда произведение an+izn можно расписать в виде

ап+izn =

где агп+1 — элемент главной диагонали матрицы оп+ь стоящий в г-й строке, z" — единичный вектор с ненулевой г-й компонентой. Следовательно

vn+1 = v"+1/2 - ^<+1D1/2zf.
i=l '
Будем находиткэлементы матрицы {агп+1} из условия min ||vn+1||.

IIV«+I||2 = ||v"+1/2||2 _ 2 <+1(v"+1/2, D^2z?)+

+aUiQi+i('c,1/2zr. öl/2z;).
i=l j=l
11уП+1||2 — функция многих переменных at+1,... ,a”l+1. Как известно, для функций многих переменных справедлива
Теорема 4. £слм /(ar) € C2(Rm), где х € Rm, и выполнено условие
f£(*o) = 0, (1.28)
а также d2xxf{xо) — матрица частных производных второго порядка, строго положительно определена, то точка Хо является точкой глобального минимума.
Матрица вторых производных имеет вид ( ö2||vn+1||2
да[1+1доРп+

d1^, 0 ... О ^
О (£>1/2z£,Dxl2zf)