Численные методы на основе эрмитовых сплайнов решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимации кривых и поверхностей, в задачах оптимального управления

• Автор: Никуличев, Юлий Васильевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 237 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. Семейства новых методов решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений

§1. Введение

§2. Семейство методов на основе двухточечных эрмитовых сплайнов

(ХЛ-методы)

§3. Аналитическое представление и дифференцирование функций

§4. Семейство методов на основе трехточечных эрмитовых сплайнов

(ХМЛ-методы)

§5. Интегрирование системы ОДУ с разрывными функциями

правых частей
§6. Краевые задачи
§7. Примеры решения тестовых задач
ГЛАВА II. Новый метод аппроксимации кривых и поверхностей.
§1. Введение
§2. ££-аппроксимация кривой
§3. //-аппроксимация поверхности
§4. Метод вариации поверхности
Рисунки к главе II
ГЛАВА III. Алгоритмы, библиотеки программ, программные пакеты, решения прикладных задач на основе описанных методов.
§1. Введение
§2. Алгоритмы и программы решения задачи Коши для систем ОДУ
§3. Прогнозирование движения искусственных спутников Земли
§4. Проектирование плоских аэродинамических форм. Пакет программ

§5. Задача нелинейного программирования. Библиотека программ
ПОИСК
§6. Моделирование процессов разложения пространственно-затруднённых
фенолов, пакет ТЕРМОГРАФ
§7. Оптимальное управление в динамике генных сетей
Рисунки к главе III
ПРИЛОЖЕНИЕ. Построение эрмитовых сплайнов произвольного порядка.
§1. Введение
§2. Эрмитовая интерполяция по двум точкам
§3. Эрмитовая интерполяция по трем точкам
§4. Вычисление квадратуры
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Математическая модель - численные методы - алгоритмы и программы -компьютерное обеспечение - циклически взаимосвязанная система. Все компоненты этой системы с некоторой инерцией испытывают взаимное влияние по уровню развития. Увеличение мощности компьютерного обеспечения позволяет усложнять, увеличивать степень адекватности математических моделей, что, в свою очередь, заставляет пересматривать и совершенствовать численные методы, алгоритмы, программные комплексы и пакеты, а новые математические модели и достижения в численных методах выдвигают новые требования к мощностям вычислительных систем и т.д.
Не смотря на то, что мощности компьютеров по быстродействию и памяти непрерывно возрастают, одним из наиболее важных требований к численным методам чаще всего все-таки является минимизация числа операций. Это вызвано необходимостью многократного повторения вычислений (пересчетов) -требование, выдвигающееся во многих вычислительных алгоритмах, к каковым, например, относятся алгоритмы оптимизации, идентификации параметров, наведения на цели и другие. Эти требования особенно важны в системах реального времени.
Наличие разнообразных численных методов, решающих одну задачу
показывает, что часто практические требования к численному методу,
характеризующиеся противоречивой вилкой «точность» — «быстродействие»
отвергают необходимость универсального метода, ввиду частого появления
непредсказуемых особенностей при решении практических задач. Так, например,
проблема решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений

/ (х) = 8 хСсц
х + х|п(*)
(1.10)

Последовательность бинарных операций для вычисления значения функции (1.10) может быть, например, следующая:
Г, =8; Т2 =17; Г3 =*, Г4 =1п(Г3), Г5=Г3Л Г4; Г6= Г3+ Г5; Г7= Т6/ Т2:; Г8=Соз(Г7);
Г9= Г|* Г3; 7|0= Г9* 78.
Массив С={8, 17, 4}, (Р=3): Элементы массивов I, г и г будут иметь следующие значения: /={0, 0, 0, 3, 3, 3, б, 7, 1, 9}, г={0, 0, 0, 0, 4, 5, 2, 0, 3, 8}, г={-1, -2, 0, 14, 5, 1, 4, 7, 3, 3}. Получили общее число операций М=10.
Смысл такого аналитического представления состоит в том, что для любой элементарной функции или бинарной операции можно написать формулу для вычисления производной любого порядка. В результате для функции, заданной бинарным графом можно построить алгоритм для вычисления производной любого заданного порядка путем последовательного вычисления требуемых производных для всех элементов массива Т.
Ниже приводятся список формул дифференцирования элементарных функций и бинарных соотношений. Используются следующие обозначения:
т(к) = с) -к—
с1хк к Як-Ш
Формулы представлены в три колонки, в первой колонке приводится дифференцируемое соотношение, во второй приводится код операции - значение соответствующего элемента массива 2, согласно принятым выше соглашениям - и в третьей - рекуррентная формула для вычисления производной к-го порядка элементарной функции или бинарного соотношения, соответствующих этому