Математическое моделирование напряженного статического состояния анизотропного упругого тела на основе векторных краевых задач со сдвигом для аналитических функций

• Автор: Володченков, Александр Михайлович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 121 с. : ил.

Глава 1. Математический аппарат для исследования обобщенной

математической деформации однородного тела

§ 1. Основные виды анизотропных тел

§2. Общие уравнения теории упругости и постановка основных задач

§3. Краевая задача Римана

§4. Задача Гильберта

§5. Функция сдвига

Глава 2. Моделирование процесса линейной деформации упругого однородного тела с помощью векторный краевых задач со

сдвигом для аналитических функций

§ 6. Математическая модель первой основной задачи для упругого

анизотропного тела

§ 7. Математическая модель второй основной задачи для анизотропного тела, основанная на краевой векторной задаче и ее
исследование
§ 8. Математическая модель смешанной задачи для анизотропного
тела, основанная на краевой векторной задаче
§ 9.0 разрешимости и устойчивости векторной модели со сдвигом
основных задач теории упругости для анизотропных тел
§ 10. Аппроксимация функции сдвига полиномами
Глава 3. Решение основных задач теории упругости с помощью
математической модели, основанной на векторных краевых
задачах со сдвигом для аналитических функций
§11. Основные задачи теории упругости в случаи отверстий
эллиптических формы
§ 12. Первая основная задача теории упругости для тел, обладающих
общей анизотропией в случае упругой полуплоскости
§ 13. Решение первой основной задачи теории упругости для
анизотропного тела для области с отверстием, отличающимся от
эллиптического
Выводы и предложения
Литература
Актуальность работы. Современные тенденции развития строительной, авиационной и космической техники ставят задачи автоматизации расчетов напряжений и деформаций по известным граничным условиям для систем сложной конфигурации. Важная роль при решении подобных задач принадлежит математическому моделированию.
Традиционно считается, что наиболее сложные задачи теории упругости возникают в том случае, когда исследуемый материал обладает анизотропными свойствами. Поясним возникающие сложности на сравнении задач для изотропного и анизотропного тел в статическом случае.
В работах Г.В.Колосова и Н.И.Мусхелишвили было показано, что математическая модель линейной деформации может быть представлена в виде краевых задач для бианалитических функций вида
¥(2) = \/(х)+ г ф(и),
где 1|/(г) и (рф - аналитические в некоторой заданной области функции (аналитические компоненты), 2 = х -1 у - неаналитические компоненты.
В данных краевых задачах неизвестные аналитические компоненты ищутся в одной точке контура.
В случае анизотропного тела, как показано в работах С.Г.Лехницкого, также может быть использована функция вида
^у)-Ке[.ад + ад],
по своим свойствам несколько схожая с бианалитической функцией. Однако в краевых условиях неизвестные аналитические функции ищутся в разных точках контура. Говорят, что функции Ф, и Ф2 сдвинуты относительно друг друга. Подобного рода краевые задачи относятся к краевым задачам со сдвигом.
В последние годы появилось достаточно много оригинальных работ, в которых развивается теория краевых задач со сдвигом. Особенно следует

отметить работы Н.П.Векуа, Газемана, Ф.Д.Г ахова, Карлемана, Г.С.Литвинчука, С.Г.Михлина, Г.Н.Савина и др. В этих работах была разработана качественная теория задач со сдвигом. Однако, в данной теории имеется существенный недостаток. В постановке задачи полагается, что функция сдвига известна. На практике функция сдвига известна только для ограниченного числа областей. Кроме того большинство задач со сдвигом относится к неустойчивым задачам, что осложняет применение численных методов. Данные обстоятельства привели к тому, что на современном этапе теория краевых задач со сдвигом достаточно редко применяется для решения задач теории упругости.
Таким образом построение эффективной математической модели основных задач теории упругости на основе краевых задач со сдвигом, исследования ее устойчивости и разрешимости, а также разработка алгоритмов численного решения является актуальной научной задачей.
Целью работы является построение эффективной математической модели напряженного статического состояния анизотропного упругого тела на основе векторных краевых задач со сдвигом для аналитических функций.
Указанная цель предполагает решение следующих основных задач:
1. Постановка и решение векторных краевых задач со сдвигом, моделирующих основные задачи теории упругости анизотропного тела.
2. Исследование разрешимости и устойчивости поставленных задач.
3. Выявление случаев, допускающих решение поставленных задач в замкнутой форме.
4. Создание алгоритма для построения функции сдвига в виде полинома.
Основная идея работы состоит в использовании конформных отображений для построения функции сдвига, а также использование краевых задач Гильберта и Римана, уравнений Фредгольма для исследования математической модели.

ГЛАВА 2. Моделирование процесса линейной деформации упругого однородного тела с помощью векторный краевых задач со сдвигом для
аналитических функций
§6. Математическая модель первой основной задачи для упругого
анизотропного тела
Как было показано в главе 1 основные задачи теории упругости в
анизотропном случае сводятся к системам краевых задач. Например,
граничные условия первой основной задачи
Хп = °х С08(п, х) + тху соб(п, у),
Уп = тху соз(п, х) + ау сов(п, у)
можно записать следующим образом:
Ф^О + ФАЭ + Ф^ + Ф^^+с,,
(6.2)
Р1Ф1 (г,) + ц,Ф, (^) + р2Ф2 (г2) + р2Ф2 (г2) = ^ + с2,
где Ф^к) - неизвестные аналитические функции обобщенных комплексных переменных
х^х + щу, г2 = х + р2у,
Ц1 = а! + 1 Рь Цг = «2 + I Рг - корни определенного характеристического уравнения. Будем рассматривать неравные корни, примем
Р1 > 0» Рг > О, Р1 Ф рг-Общее выражение для компонентов напряжения можно получить, используя аналитические функции Ф^), Ф2(22)
стх =2Ке[р?Ф,'(21) + ^Ф2'(22)],
сту =2Ке[Ф,,(г1) + Ф2'(г2)], (63)
тху =-2Ке[р12Ф1,(21) + Ц2Ф2'(22)].
Проведем несложные преобразования с обобщенными комплексными переменными