Технология построения адаптируемых многогранных сеток и численное решение эллиптических уравнений 2-го порядка в трехмерных областях и на поверхностях

• Автор: Чернышенко, Алексей Юрьевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 125 с. : ил.

Содержание
Введение
Обзор используемой терминологии
Глава 1. Построение многогранных сеток типа восьмеричное дерево со сколотыми ячейками в составных областях
1.1. Построение сколотых ячеек
1.2. Случай составной области
1.3. Общий алгоритм построения сетки
1.4. Анализ алгоритма
1.5. Дополнительные операции с сеткой
1.6. Сетки для слоистых областей
1.7. Примеры сеток
1.8. Выводы к первой главе
Глава 2. Монотонный метод конечных объемов для трехмерной задачи диффузии
2.1. Стационарное уравнение диффузии
2.2. Нелинейный метод конечных объемов на сетках с многогранными ячейками
2.3. Результаты численных экспериментов
2.4. Выводы к второй главе
Глава 3. Метод приближенного решения эллиптических уравнений 2-го порядка на поверхностях
3.1. Предварительные сведения и обозначения
3.2. Расширение уравнения на поверхности

3.3. Численные методы
3.4. Численные эксперименты
3.5. Выводы к третьей главе
Заключение
Литература

Введение
Процесс решения задач математической физики с использованием ЭВМ можно разделить на три основных этапа: построение расчетной сетки, дискретизация дифференциальных или интегральных уравнений и решение системы алгебраических уравнений. В настоящей работе центральную часть занимает проблема построения качественных расчетных сеток. Кроме этого, будут рассмотрены дискретизации эллиптических уравнений в трехмерных областях и на поверхностях. Различные методы дискретизаций представлены в работах [4, 5, 7]. Методы решения алгебраических уравнений рассматриваются в работах [6, 8, 9, 82].
В трехмерном пространстве среди прочих выделяются три класса сеток: тетраэдральные, треугольные призматические и гексаэдральныс. Расчетные сетки должны удовлетворять различным требованиям, и каждый из этих классов сеток имеет свои преимущества и недостатки.
Так, например, сетки должны приближать границу области с достаточным порядком точности. В настоящее время при расчетах приемлемым является второй порядок точности. В консервативных дискретизациях, популярных у инженеров, степени свободы находятся в центрах ячеек, поэтому генераторы сеток должны стремиться минимизировать число ячеек для заданной плотности распределения узлов сетки. При фиксированном количестве вершин Ау сетки известны следующие оценки количества ячеек АГс и граней Аф в сетках разных типов. Для неструктурированных тетраэдральных сеток Атс ~ 5.5А/у, АД ~ ПАф, для треугольных призматических сеток Аф « 2А/у, Аф- яз 5А/у, для гексаэдральных Аф ~ А/у, Аф- л; ЗА/у. С этой точки зрения, гексаэдральные сетки являются наиболее выгодными. Получающиеся при дискретизации на гексаэдральных сетках шаблоны являются самыми компактными, а, значит, соответствующие матрицы имеют меньшее

1.2.1. Метод марширующих квадратов для областей с несколькими материалами
Рассмотрим равномерную квадратную сетку в области, разделенную интерфейсами на непересекающиеся подобласти. Для каждой вершины сетки мы можем определить индекс подобласти, в которой она находится. В случае, если вершина находится на интерфейсе двух или более подобластей, ей присваивается индекс подобласти с наибольшим приоритетом, который определяется заранее. Рассмотрим ребро сетки и две его вершины. Если индексы подобластей в этих вершинах различны, то на середине ребра создается точка, которая считается точкой пересечения ребра с соответствующим интерфейсом. Точку, которую мы считаем точкой пересечения интерфейса с ребром ячейки, будем называть интерфейсной точкой па ребре. Будем считать, что интерфейсной точке приписываются оба индекса подобластей вершин отрезка.
Квадратная ячейка имеет четыре вершины, каждая из которых имеет определенный индекс подобласти. Таким образом, всего имеется 44 = 256 вариантов распределения индексов подобластей и построения кусочно-линейного контура на этой грани. Однако, они могут быть сгруппированы в следующие случаи:
• Если количество различных индексов не более двух, то контур получается из обычного метода марширующих квадратов, см. Рис. 1.6, верхние картинки.
• Если количество различных индексов равно трем, причем две вершины с одинаковым индексом расположены по диагонали, то контур строится так, что они будут соединены, см. Рис. 1.6, нижняя средняя картинка.
• В остальных случаях на грани создается центральная точка, которая