Развитие вероятностных методов математического моделирования естественных нефтегазовых систем

• Автор: Исаева, Анна Вячеславовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 111 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В НАУКАХ О ЗЕМЛЕ. ГЕОСТАТИСТИКА

1.1. Основные понятия геостатистики

1.2. Стационарные случайные функции, их свойства

1.3. Оптимальные линейные оценки. Метод кригинга

1.4. Вариограммный анализ

ГЛАВА 2. ЛОКАЛЬНО СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ И МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД КРИГИНГА

2.1. Локально стационарные случайные функции: физические предпосылки и математическая формулировка

2.2. Модифицированный метод кригинга, его вычислительная сложность

2.3. Вычислительный эксперимент
2.4. Модифицированный метод кригинга в задаче оценки значений геолого-геофизических параметров в межскважинном пространстве
ГЛАВА 3. АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА НЕФТЕИЗВЛЕЧЕНИЯ, СОДЕРЖАЩЕЙ СЛУЧАЙНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
3.1. Компьютерное моделирование процесса нефтеизвлечения
3.2. Анализ математической модели процесса нефтеизвлечения вероятностными методами: постановка задачи, подходы к решению
3.3. Уравнение Бакли-Леверетта со случайным параметром
3.4. Вычислительный эксперимент
ГЛАВА 4. РАЗРАБОТАННЫЙ КОМПЛЕКС ПРОГРАММ И РЕАЛИЗОВАННЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ

4.1. Структура и функционал разработанного комлекса программ .
4.2. Алгоритмы моделирования случайных полей с заданными статистическими параметрами
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Некоторые разновидности метода кригинга
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Кусочно-гладкие модели вариограмм
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Сведения из теории морфологического анализа сигналов и изображений
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Параметрические модели фазовых проницаемостей
ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Материальные уравнения многокомпонетной многофазной фильтрации

ВВЕДЕНИЕ
Методология математического моделирования во второй половине XX в. заметно обогатилась за счет быстрого развития области научного знания, в которой создается инструментарий так называемого вычислительного эксперимента [63], [86], [88], [109]. Эта исследовательская технология доказала свою эффективность при решении таких задач, как разработка атомной и водородной бомбы, создание ядерной энергетики, космических технологий и т.д. Благодаря этим достижениям XXв., компьютерный эксперимент сегодня прочно укоренился во многих областях пауки, техники, конструирования и проектирования.
Науки о Земле не стали исключением. Вычислительный эксперимент успешно применяют как для решения фундаментальных задач о строении и происхождении Земли [33], [42], так и в научно-прикладных разделах, где интерес представляют оценки параметров конкретных геологических объектов (см. примеры в [13], [15], [17], [19], [80]).
Настоящая работа посвящена обобщению и развитию методов компьютерного эксперимента в задачах изучения естественных нефтегазовых систем1. Создаваемые модели по сложившейся традиции подразделяют на статические и динамические [11], [17], [19], [53]. Статические или геологические модели представляют собой оценку свойств изучаемого объекта: размеры и геометрия залежи, зависимость фильтрационно-емкостных свойств и геолого-гсофизических параметров от пространственных координат [17], [19]. Посредством динамических моделей2 в вычислительном эксперименте воспроизводят процесс извлечения углеводородного сырья, а также прогнозируют уровни добычи при реализации заданного воздействия на залежь [51], [55], [87]. При этом статическая модель выступает в роли исходных данных для построения динамической модели. В главе 3 будет показано, что динамическую модель определяет некоторая начально-краевая задача для системы нелинейных дифференциальных уравнений
1 Здесь и далее под естественными нефтегазовыми системами мы будем понимать нефтяные, газонефтяные, нефтегазовые, газоконденсатные залежи и т.п. (см. определения понятий в [99]).
2Иначе динамические модели называют гидродинамическими или термогидродипамическими (в случае, когда при математическом моделировании приходится учитывать превращение энергии в залежи) .

стсма для г > I имеет только тривиальное решение а, = 0, 1 = 1 + 1 ,п, при условии, что определитель этой системы не равен нулю [86]. Рассмотрим, в каком случае такое предположение справедливо.
При i, j = I + 1, та матрица К: = К(х,, хД представляет собой кова-
риационную матрицу случайных величин £(х;+х)>..., £(х„). Согласно свойствам АФ.1, АФ.4, выписанным в п.1.2 главы 1, К является симметричной положительно определенной матрицей. Для симметричной положительно определенной матрицы К найдется такой базис, в котором эта матрица примет диагональный вид К' [61], [103]. Это означает, что для случайных величин £(хг+1),...,£(хп) существует набор линейных комбинаций, представляющих собой некоррелированные случайные величины. Дисперсии данных случайных величии равны числам, стоящим на главной диагонали матрицы К'. Если одно из этих чисел равно пулю, то из этого следует, что соответствующая случайная величина на самом деле не случайна и равна своему математическому ожиданию с вероятностью единица [67], [107]. Наличие пулевого диагонального элемента эквивалентно равенству пулю определителя матрицы К1, а следовательно, и матрицы К.
Далее нам будет полезно понятие стохастически линейно независимых случайных величин. Мы будем называть случайные величины £11 • • • > £т стохастически линейно независимыми, если из равенства с0 + + ... + ст£т = 0, имеющего место с вероятностью единица, выте-
кает с, = 0, г = 0, т, здесь с, е!1 - неслучайные числовые коэффициенты.
Предположим, что значения £(х/+1),..., £(х„) локально стационарной случайной функции £(•) являются стохастически линейно независимыми. Тогда любая нетривиальная линейная комбинация этих случайных величин также будет представлять собой случайную величину, поэтому диагональные элементы матрицы К' будут отличны от нуля, а следовательно, отличны от нуля будут определители матриц К' и К. Таким образом, для локально стационарной случайной функции £(•), значения которой являются стохастически линейно независимыми вХг, система для г > I в (2.1) имеет только тривиальное решение аг = 0, { = 1 + 1,п. В этом случае для наилучшей в среднем квадратичном несмещенной линейной оценки У = Ь + ]Сь=1 а>£(хг) значения £(х), х€ Х локально стационарной случай-