Построение и исследование математической модели трехсолитонного взаимодействия в жидкостях и газах

• Автор: Чулков, Андрей Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Ставрополь
• Количество страниц: 124 с. : ил.

Глава 1. Аналитический обзор основных методов исследования математических моделей, описывающих движение солитонов в жидкой среде

1.1 Прямые методы исследования математических моделей распространения солитонов

1.2 Метод обратной задачи рассеяния в применении к получению

односолитонного решения вКдФ

Глава 2. Решение уравнения КдФ для трех солитонов, распространяющихся в среде с диссипацией

2.1 Решение уравнения вКдФ для трех солитонов методом обратной задачи рассеяния

2.1.1 Решение КдФ без учета вязкости

2.1.2 Решение КдФ с учетом вязкости

2.2 Решение уравнения вКдФ для трех солитонов методом Уизема

Глава 3. Нелинейные эффекты, возникающее при распространении солитонов в среде с диссипацией
3.1 Возникновение плато и осцилляций за солитонами
3.2 Образование стационарных пар триад солитонов
3.3 Оценка величины диссипативного члена в уравнении вКдФ
Выводы
Глава 4. Расчет и моделирование нелинейных эффектов на конкретных примерах
4.1 Сравнение математической модели с опытными данными Хаммарка и Сигура
4.2 Возникновение и начальные стадии распространения цунами

4.2.1 Физика распространения цунами
4.2.3 Использование математической модели для описания I возникновения и распространения цунами в Индийском Океане
декабря 2004 года
Выводы
Заключение
Список литературы

Исследования нелинейной динамики волновых процессов, происходящих в природе, проводятся уже много десятков лет. Одним из первых обратил внимание на эти явления Скотт Рассел, наблюдавший уединенную волну на воде, распространявшуюся без потери энергии на большое расстояние. С того момента прошло уже 170 лет и явления локализации волнового процесса были замечены практически во всех областях естественнонаучного исследования, вплоть до медицины и микробиологии. Как известно, после открытия I Расселом уединенной волны прошло 60 лет, пока было дано первое математическое описание данного явления Дидериком Иохаинесем Кортевегом и его учеником Густавом де Фризом.
Уединенная волна, вскоре, приобрела новое имя солитон - частицеподобный. Это название волны получили после экспериментов по их взаимодействию. Как показывали эксперименты, характерные волны расходились после взаимодействия так, как будто произошел обмен импульсами между упругими частицами.
С развитием солитонной теории и разнообразностью явлений, где были выявлены схожие с гидродинамическим явлением локальные процессы, появилось множество уравнений, описывающих солитонные явления, а, как следствие, методы, позволяющие получить решения данных уравнений. Все больший интерес представлял поиск решения, описывающего совместное распространение двух и более солитонов. Первым, кто попытался найти мно-госолитонное решение, был Беклунд [44], потом N - солитонное решение было получено Хиротой [13]. Основываясь на достигнутом, был разработан метод обратной задачи рассеяния для нахождения решений солитонных уравнений [1].

взять функции ФСР для уравнения Шредингера (2.40) с Х = j2: и
Подставив функции ФСР в (2.43) и взяв X = ~х], получим

Я f iXi 1 t)R(u, )fi (х> or, ; t)dx
= (2 44)
f)t Г) 00 '
-oO
Для того чтобы описывать поведение системы солитонов, уравнений (2.44) недостаточно. Нужны еще уравнения, описывающее поведение Е,.. Чтобы их получить, воспользуемся известными соотношениями для функций ФСР (2.5) с тем отличием, что коэффициенты отражения и прохождения зависят от времени и Xi • В невозмущенной задаче {£ = 0) законы изменения коэффициентов отражения и прохождения с.. легко находятся. При наличии
возмущения их временная зависимость изменяется. Именно эти изменения, как будет покачано ниже, и отвечают за законы изменения параметров Çt солитонов во времени. Продифференцируем уравнение (2.40) по t. Получим Lty/ + L у/1 = Xti// + Xf/i. Подставляя Lty/ из уравнения (2.41), Имеем:
(L-XXy/t -Ау/) = Х,у/-sR[us}// . (2.45)
Теперь, вводя функцию Ф = Ху/, - Ai//, получим выражение (1.52). Далее, придерживаясь схемы адиабатической теории возмущения, приведенной в первой главе для единичного солитона, найдем выражения для коэффициентов отражения и прохождения (1.64-1.66) и ФСР зависящей от времени. Тогда можно найти уравнения движения для
Найдем ФСР трехсолитонного решения уравнения КдФ. Для этого сделаем преобразование Крама второго порядка, рассмотренного нами при изложении теории преобразования Дарбу в первой главе, для линейнонезависимых решений уравнения Шредингера с тривиальным потенциалом u[x,t) = 0 :