Разрывы газодинамических функций в методах сквозного счета, их алгоритмическая локализация и классификация

• Автор: Плёнкин, Андрей Валерьевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 125 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Обзор известных методов выделения особенностей
1.1 Основные определения и некоторые свойства вейвлетов
1.1.1 Показатель гладкости Липшица
1.1.2 Условие Фурье
1.1.3 Вейвлеты
1.1.4 Нулевые моменты вейвлетов
1.1.5 Многомасштабный дифференциальный оператор
1.1.6 Многомасштабный (кратномасштабный) анализ
1.1.7 Масштабирующая (скейлинг) функция и материнский вейвлет
1.1.8 Вейвлет - фильтры и дискретное вейвлет - преобразование
1.2 Связь асимптотики убывания вейвлет - преобразования с равномерной гладкостью
Липшица на отрезке
1.3 Точечная гладкость Липшица
1.3.1 Теорема Жаффара
1.3.2 Конус влияния
1.4 Максимумы модуля вейвлет - преобразования
1.4.1 Максимумы модуля и выделение особенностей
1.4.2 Распространение максимумов
1.5 Многомасштабное выделение перепадов
1.5.1 Алгоритм Кэнни выделения перепадов
1.5.2 Многомасштабное выделение перепадов
1.5.3 Кривые максимумов
1.5.4 Гладкость Липшица
1.6 Увеличение четкости изображений, при помощи Лапласиана
1.7 Риджлеты
1.7.1 Оценки аппроксимации функции в различных базисах
1.7.2 Базис риджлетов
1.8 Выделение особенностей методом С.Б. Базарова
1.9 Локализация сингулярностей газодинамических полей при помощи вейвлетов
1.9.1 Детектор, основанный па оценке показателя гладкости Липшица в точках
исследуемого поля
1.9.2 Детектор на основе пары вещественных ортогональных вейвлет - фильтров
1.10 Заключение
2 Локализация разрывов в полях газодинамических функций с помощью вейвлет анализа..
2.1 Введение
2.2 Применение вейвлетов для выделения и классификации особенностей
газодинамических полей
2.2.1 Детектор на основе симметричных комплексных вейвлетов Добеши
2.2.1.1 Симметричные комплексные вейвлеты Добеши
2.2.1.2 Конструкция детектора
2.2.1.3 Многомерная версия детектора
2.2.2 Построение детектора-корректора
2.2.3 Классификация разрывов
2.2.3.1 Определения и обозначения
2.2.3.2 Классификация
2.2.4 Алгоритм локализации и классификации разрывов в двумерном случае, оценка
числа необходимых вычислительных операций
2.3 Численные эксперименты
2.3.1 Тестовый пример
2.3.2 Численное моделирование

2.3.3 Исследование одномерной задачи
2.3.4 Исследование 20 задачи
2.3.5 Выделение и классификация разрывов
2.3.6 Сравнение результатов локализации разрывов в расчетах, полученных по схемам 1-го и 2-го порядков аппроксимации
2.3.7 Обработка исходных данных методом С.Б. Базарова
2.4 Заключение
3 Многомасштабный анализ особенностей газодинамических полей и оценка качества работы детектора
3.1 Введение
3.2 Численное моделирование
3.3 Многомасштабный вейвлет анализ
3.4 Структуры, локализуемые у границы расчетной области
3.5 Локализация разрывов с помощью корректора
3.6 Сравнение расчетов выполненных на различных сетках
3.7 Заключение
4 Обобщение алгоритма локализации особенностей на неструктурированные расчетные сетки, локализация структур в идеальной и вязкой моделях, адаптация расчетной сетки к положению разрывов
4.1 Введение
4.2 Алгоритм
4.3 Численное моделирование
4.4 Анализ расчетов
4.5 Локализация разрывов в трехмерных расчетах
4.6 Применение детектора для адаптации расчетной сетки к положению разрывов
4.7 Заключение
Заключение
5 Приложения
5.1 Симметричные комплексные вейвлеты Добеши
5.2 Связь между вещественной и мнимой частями скейлинг функции
5.3 Лемма о сходимости масштабирующих функций
5.4 Низкочастотные фильтры использованных в работе вейвлетов
Список литературы
Введение
При математическом моделировании течений газа, содержащих ударные волны, контактные разрывы и др., актуальна задача построения прецессионных алгоритмов, в которых указанные объекты могут быть выделены с высокой точностью.
Можно условно выделить два класса методов расчета. В первом разрывы выделяются, а сетка привязывается к расположению разрывов. Очевидно, что в этом случае логическая сложность алгоритмов и требования к производительности ЭВМ быстро растут при усложнении картины расположения разрывов. Альтернативой является применение методов сквозного счета, которые не учитывают информацию о положении разрывов. Универсальность этих методов привела к их широкому распространению.
Использование численных методов для решения задач гидро и газовой динамики, по сути, является моделированием, поскольку для большинства задач нет даже теорем о глобальном по времени существовании и единственности решения соответствующих систем уравнений. Более того реальные физические поверхности разрыва представляют собой в действительности переходные слои конечной толщины, уменьшающиеся при увеличении величины скачков. Ширина ударных волн большой интенсивности оказывается порядка нескольких длин свободного пробега молекул газа [1]. В свою очередь при использовании методов сквозного счета разрывы-в течениях, которьм в идеальной модели соответствуют скачки, размазываются и формируются переходные зоны ненулевой толщины. В итоге, основным способом оценки качества полученного расчета является сравнение с экспериментом и эталонными расчетами, а также проверка сходимости решения при стремлении шага сетки к нулю.
Можно выделить две существенных особенности методов сквозного счета:
1) размазываются разрывы газодинамических функций;
2) в случае использования аппроксимаций высокого порядка, предназначенных для приближения гладких решений, в окрестности разрыва могут возникать эффекты типа явления Гиббса, которые могут со временем привести к авосту.
Первая из указанных выше проблем может быть решена за счет измельчения расчетной сетки. Однако увеличение точности расчета только за счет равномерного измельчения сетки не оптимально [2, 3] и не всегда возможно даже на современных супер ЭВМ. В такой ситуации оказалось эффективным использование адаптивных сеток сгущающихся в окрестности разрывов. Эффективность применения адаптивных сеток при расчете газодинамических течений продемонстрирована в работах [4, 5, 6]. Использование адаптивных сеток, сгущающихся в областях высоких градиентов, позволило сократить число расчетных узлов в 30 раз, по сравнению с рав-

гАв(х,,х2) = я |/21//((х1 С05((9) + х2зт( Это так называемые функции горного хребта (риджлеты).
Теперь можно рассмотреть разложение сигнала по базису:
у 1 к,, (*1, х2) = 2“у/2 у/ ((х, соэ(//2') + х2 51п(//2' )- 21 к)! 2‘)
Индексы у и к характеризуют масштаб и сдвиг базисной функции, а / и / - угол поворота.
Особенностям сигнала соответствуют наибольшие по модулю коэффициенты. По ним можно определить не только расположение, но и направление разрывов. Однако вычислительная сложность риджлет - преобразования, по сравнению с вейвлет - преобразованием, значительно возрастает.
1.8 Выделение особенностей методом С.Б. Базарова
В данном параграфе представлен метод выделения особенностей, в котором не используются вейвлеты. Достоинством данного алгоритма является то, что он не требует тонкой настройки и подбора порогов чувствительности.
Рассматривается функция /(х,,х2) - интенсивность изображения, состоящего из Мх х М2 квадратных пикселей (со стороной Дх). В центральной точке каждого пикселя (/, у) используется детектор перепадов для окна изображения 3x3:
1 2 1 -1 0 1 I 1-,1+ Уl+J+
Я, = 0 0 0 , Н2 = -2 0 2 , Р = Л,
-1 -2 -1 -1 0 1 /!,1~ -(/ + 1./-
и вычисляются выражения — дискретные свертки данного окна изображения с масками 77/ и ТУ?:
5, = я, * г=+ 2/^+/;+и+1)- + 2/^ + Л
Я2 = Я2 * Г = (/+|-7+| + 2/п1] + )- >у+1 + 2/;_1у+Л
тогда модуль градиента #(>/ (/) функции / в точке (/,_/) равна: glj = —^—У Я,2 +52 , а ориентация

вектора градиента в центре пикселя (/, ]):
Г апДап^, / Б2). Б2 > О ,%1 [л-апЛап^, /Т>2), Т>2<
Затем вычисляется среднее значение градиента по всему расчетному полю: Т = ^.,,1{М,хМ2) и из множества всех точек (/ = 1,2,..., АУ,, у = 1,2,...,М2) выбираются те, в