Моделирование процессов тепломассопереноса, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных на одно- и двумерных областях

• Автор: Кутузов, Антон Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 190 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Вспомогательные сведения, используемые в работе
1.1. Актуальность обратных задач теплообмена
1.2. Основные понятия и методы, используемые в работе
Глава 2. Одномерные математические модели
2.1. Одна граничная обратная задача и ее решение методом квазиобращения
2.2. Численное моделирование на ЭВМ решения обратной задачи тепловой диагностики ракетных двигателей методом квазиобращения
2.3. Граничная обратная задача для уравнения с переменным коэффициентом
Глава 3. Двумерные математические модели
3.1. Оценка решения двумерной граничной обратной задачи методом проекционной регуляризации
3.2. Решение двумерной граничной обратной задачи методом квазиобращения
3.3. Реализация на ЭВМ алгоритма численного решения обратной задачи на кольце методом квазиобращения
3.4. Двумерная граничная обратная задача непрерывной разливки стали
3.5. Двумерная граничная обратная задача на кольце с подвижной границей
Заключение
Список литературы

Введение
Многие прикладные задачи математической физики не удовлетворяют трем требованиям корректности постановки по Адамару:
1. существование решения;
2. единственность решения;
3. непрерывная зависимость решения от исходных данных.
Следствием этого является непригодность для решения таких задач традиционных методов, связанных с обращением оператора задачи.
Такие задачи стали называть некорректно поставленными. Долгое время такие задачи считались непригодными для практических нужд, а потому мало интересовали математиков.
Впервые практическую ценность таких задач отметил академик А.Н. Тихонов в своем докладе [80]. Также в этом докладе А.Н. Тихонов впервые дал постановку так называемой условно-корректной задачи. Указанная постановка в дальнейшем сыграла огромную роль в становлении и развитии теории и практических применений подобных задач.
В вопросах постановки и разработки специальных методов решения некорректных задач основополагающее место занимают работы Тихонова А.Н. [80, 81], Лаврентьева М.М. [45, 47] и Иванова В.ЬС. [26, 27].
Дальнейшее развитие этой теории было связано с работами А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова, а также их учеников и последователей В.Я. Арсенина, А.Л. Агеева, А.Б. Бакушинского, А.Л. Бухгейма, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, В.А. Винокурова, A.B. Гончарского, В.Б. Гласко, А.М. Денисова, Е.В. Захарова, В.И. Дмитриева, С.И. Кабанихина, М.Ю. Кокурина,
A.C. Леонова, O.A. Лисковца, И.В. Мельниковой, В.А. Морозова, А.И. Прилепко,
B.Г. Романова, В.Н. Страхова, В.П. Тананы, А.М. Федотова, Г.В. Хромовой,

A.B. Чечкина, А.Г. Яголы и многих других математиков [1-16, 18-22, 26-37, 39-48, 50-52, 55, 57, 58, 60, 63-84, 85, 87, 88, 90-101].
В настоящее время теория некорректно поставленных задач является одним из основных направлений прикладной математики, которое, развиваясь, находит новые приложения в естествознании, физике, металлургии и технике.
Состояние теории некорректных задач на сегодняшний день отражено в монографиях М. М. Лаврентьева [45, 46], А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина [82], Р. Латтеса и Ж.Л. Лионса [50], В.К. Иванова, В.В. Васина, В.П. Тананы [28],
B.А. Морозова [58], М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, С.ГТ. Шишатского [48],
O.A. Лисковца [52], В.В. Васина, А.Л. Агеева [15], Г.М. Вайникко [12], А.М. Федотова [85], А.Н. Тихонова, A.B. Гончарского, В.В. Степанова и А.Г. Яголы [83],
В.К. Иванова, И.В. Мельниковой и А.И. Филинкова [30], В.П. Тананы и А.И. Си-диковой [76] и многих других.
За рубежом значительный вклад в данную теорию сделан следующими математиками: Franklin J.N. [92], Cullum J. [93], Miller K. [100], Phillips D.L. [101], Melkman A., Micchelli C. [99], Langford D. [98].
При решении обратных и некорректно поставленных задач важное место занимает математическое моделирование, более адекватно отражающее суть изучаемого процесса или явления. Это приводит к использованию более сложных моделей, учитывающих неоднородные среды, сложное строение искомого решения (например, его разрывность), нелинейность, или - чему по большей части и посвящена данная работа - многомерность рассматриваемых сред, а также многие другие моменты.
Для дальнейшего численного решения обратных некорректных задач требуется разработка специальных методов, демонстрирующих высокую точность. Таким образом, особое место занимает разработка оптимальных и оптимальных по порядку методов решения некорректно поставленных задач, а также оценка погрешности этих методов.
Для окончательного решения той или иной некорректно поставленной задачи необходимо разработать и апробировать на достаточном числе модельных приме-

Рассмотрим граничную обратную задачу, то есть задачу восстановления поля температур и0(і) - где и0(/) є С[0,оо), и(х^) удовлетворяет условиям:
Здесь (pit) є С[0,со) - заданная функция. Задача (2.1) поставлена некорректно (см., напр., [68], [7]). Для поставленной задачи доказана теорема единственности (см. [47]). Кроме того, выполняются условия сопряжения ио(0) = 0 и ср{0) = 0.
Мы вводим условие (2.2), поскольку решение задачи (2.1), как и решение соответствующей ей прямой задачи, естественно искать лишь на конечном отрезке [0,Г], доопределяя функцию м(1,/) по непрерывности нулем при всех /> Т.
Бесконечный промежуток 1е[0,оо) необходимо рассматривать из-за специфики получения оценки сверху полученного приближенного решения, и, в частности, применения интегрального преобразования на полупрямой, аналогичного преобразованию Фурье.
Обратной задаче (2.1) соответствует следующая прямая задача: найти непрерывную в полосе [0,1]х[0,оо) функцию имеющую на множестве
(0,1)х(0,оо) непрерывные производные первого порядка по г и до второго порядка включительно по х и удовлетворяющую условиям
г/(х,0) = 0, 0<х<1; u(0,t) = 0, t > 0; u{x0,t)-(p{t), ґ>0, 0<хо<1.
(2.1)
ды 5 и
Мы также полагаем, что —,—г- е С((0,1)х (0,оо)).
81 дх
Предположим, что существует число Т > 0 такое, что для любого / > Т
и0(0 =
(2.2)
и(х, 0) = 0, 0 < х < 1; и(0,?) = 0, t> 0;
u{,t) = u0(t), t> 0.