Метод продолженных граничных условий решения задач дифракции волн и его обобщение

• Автор: Смирнова, Надежда Ивановна
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 135 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Решение скалярных задач дифракции методом продолженных граничных условий
1.1 Постановка задачи
1.2 Метод продолженных граничных условий (МПГУ)
1.2.1 Идея МПГУ и сравнение его с другими методами
1.2.2 Получение интегрального уравнения (РТУ) МПГУ
1.2.3 Существование и единственность решения ИУ МПГУ
1.2.4 Корректность численного решения ИУ МПГУ
1.2.5 Строгое решение некоторых задач дифракции с помощью МПГУ
и оценка погрешности метода
1.3 Алгоритм численного решения ИУ МПГУ
1.3.1 Алгоритм для произвольных тел
1.3.2 Алгоритм для тел вращения
1.3.3 Алгоритм для правильных призм
1.4 Особенности реализации и оптимизация алгоритма
1.4.1 Учет скачка потенциала двойного слоя
1.4.2 Определение величины параметра к8 продолжения граничного условия
1.4.3 Выбор способа построения поверхности, на которой выполняется граничное условие
1.4.4 Использование интегральных уравнений Фредгольма 1 и 2 рода
1.4.5 Переход к дискретным источникам
1.4.6 Выбор базиса для аппроксимации неизвестной функции
1.5 Численные исследования
1.5.1 Численные исследования точности и сходимости метода. Достоверность получаемых результатов
1.5.2 Исследование задач дифракции волн на компактных телах
1.5.3 Исследование задач дифракции волн на тонких экранах
1.6 Выводы
Глава 2. Решение векторных задач дифракции методом продолженных граничных условий
2.1 Постановка задачи и получение ИУ МПГУ
2.2 Алгоритм численного решения ИУ МПГУ
2.3 Особенности реализации и оптимизация алгоритма
2.3.1 Вычисление S-функций Васильева
2.3.2 Переход к дискретным источникам
2.3.3 Численное интегрирование методом Гаусса-Кронрода
2.4 Численные исследования
2.4.1 Численные исследования точности и сходимости метода. Достоверность получаемых результатов
2.4.2 Исследование задач дифракции волн на компактных телах
2.4.3 Исследование задач дифракции волн на тонких экранах

2.5 Выводы
Глава 3. Обобщение метода продолженных граничных условий - метод деформации границы
3.1 Существо метода деформации границы (МДГ)
3.2 Условие нулевого поля и роль особенностей аналитического продолжения волнового поля в реализации идеи нулевого поля
3.3 Особенности аналитического продолжения волнового поля
3.4 МДГ в скалярных задачах дифракции волн
3.4.3 Численное решение ИУ МДГ
3.5 МДГ в векторных задачах дифракции волн
3.6 Выбор поверхности, на которой выполняется условие нулевого поля .'
3.7 Метод Т-матриц
3.8 Численные исследования
3.8.1 Иллюстрация необходимости учета особенностей аналитического продолжения волнового поля при использовании условия нулевого поля
3.8.2 Сравнение МДГ и МИГУ
3.8.3 Численные исследования точности и сходимости метода. Достоверность получаемых результатов
3.9 Выводы
Заключение
Список литературы

Введение
Предмет исследований
Необходимость решения задач, связанных с процессом дифракции (рассеяния) волн возникает в таких областях, как проектирование и анализ антенных устройств, исследование вопросов распространения радиоволн в неоднородных средах, радиолокация, радиоастрономия и др. Математическими моделями таких процессов являются внешние краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных. В частности, решение задачи дифракции монохроматических волн означает в математической постановке решение внешней краевой задачи для скалярного или векторного уравнения Гельмгольца. Разработано большое количество методов решения этих задач как аналитических, так и численных.
Предметом исследования данной работы являются задачи дифракции волн на различных компактных телах и тонких экранах. Для решения такого рода задач разработан широкий спектр методов, таких как метод разделения переменных (метод Фурье) [1-3], метод конечных элементов [4], метод токовых интегральных уравнений [5-9], метод объемных интегральных уравнений [11], методы вспомогательных токов (МВТ) и дискретных источников (МДИ) [12-17], метод диаграммных уравнений [18-20], метод нулевого поля (МНП) [8], метод Т-матриц (МТМ) [8, 21, 22]. Одним из наиболее универсальных подходов к решению задач дифракции волн является сведение их к интегральным уравнениям (ИУ). Хорошо известно, что при решении классических (токовых) ИУ одну из вычислительных проблем представляет учет особенности в их ядрах. Наличие этой особенности является, с одной стороны, гарантией корректности соответствующих интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода, а с другой — требует использования тех или иных специальных приемов при проведении численных расчетов [9]. В последнее время широкое распространение получили подходы, в которых поверхности £ носителя токов и поверхности 57, на которой выбирается точка наблюдения, разнесены. В этом случае в ядрах соответствующих уравнений уже нет особенностей, а алгоритмы решения этих уравнений становятся более быстродействующими.
Подобное разнесение поверхностей производится, например, в таких распространенных методах, как МВТ, МДИ, метод продолженных граничных условий (МИГУ), МНП, МТМ. По способу разнесения поверхностей все перечисленные выше методы можно условно разделить на две группы:
1) методы, в которых деформируется поверхность Е, а 57 остается на месте (МВТ, МДИ);
2) методы, в которых деформируется поверхность 5'<5, а Е остается на месте (МИГУ, МНП, МТМ).

ТГО' 'Л Vі г) 2п + 0 о / п'
І (в ,(Р ) = -2, .' . (2) /Р«(С05б> )
п=о 4л кп (ка)
Аналогично найдем решение задачи в приближенной постановке (в (1.8) 8 Ф О ). Неизвестная функция представляется в виде:
п=0’п
Используя для остальных функций такие же представления, как и выше, при <90 = 0 получим:
пв г лп (2п + 1X4 (/ш + к8)
апт аптО V 1)
4ж]п(ка)И(ка)
и(*>) - - Ё; ±тРЛтип
„=0 4л- Jn{ka)h)l ка + к8)
Определим погрешность решения, которая появляется при использовании приближенных граничных условий, вычислив среднюю квадратическую ошибку:
2 л- л да

іЛ” л а и_с£У1 І X
а„ -а„
О 0 п=Ох
Преобразуем выражение для разности коэффициентов, учитывая что

<"п (ка)к{р (ка) - ]п (ка)к£2) (ка)

(ка)

5 (-і)п(2п + )ікб

ап ап
” " 4 л (ка)2 у„ (ка)к{2) (ка)к{2) (ка + кд) ’
з (-і)п(2п + )ік8
2ка, V Л Л+0.5 а)Н5 (ка)Н5(ка + М)
у 2(ка 4- кд)
Погрешность можно оценить с точностью до 10'5 как:
2 ка і
Д(М)~Хг
п=02п +1
Найдем погрешность метода при построении диаграммы рассеяния. Подставив найденные значения тока в формулу для диаграммы:
27Г я
Р(в,ср)= | і(д',<р')ехр(іка(5Іпв5тв'соз((р-(р') + со50со5в'))8тв'дв'д(р',
. о о
получим для точного граничного условия:
Р(0,ф) = ап4л(Ч)п]п(ка)——Р„(со5в);
п=О 2п +1
для приближенного граничного условия: