Разработка эффективных методов электростатики проводников и диэлектриков на плоскости

• Автор: Шляхтич, Евгений Николаевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 170 с. : ил.

Введение
В научной и учебной литературе под основной задачей электростатики понимают задачу отыскания напряженности электрического поля системы зарядов в присутствии проводников и диэлектриков [1], [2], [5],
[31], [32], [33], [34], [36], [39], [40], [41 ], [42], [43], [62]. Решение этой задачи представляет значительные трудности даже для уединённых проводников и диэлектриков находящихся во внешних электрических ПОЛЯХ. В реальных электрических системах бывает трудно промоделировать и измерить электрические поля, поэтому для расчета электромагнитных параметров требуется применение методов теоретической физики [31],

[32], [33], [41], [62].

Расчёт электрических и магнитных полей различных систем элементами которых являются проводники и диэлектрики представляет практический интерес для различных областей науки: электрофизики, радиоэлектроники, радиофизики, электроники. Развитие этих областей науки предъявляет строгие требования к точности расчетных методов. Эти методы должны быть экономичны и доступны для широкого круга инженеров и других пользователей. Кроме того, не менее важна оценка точности полученных результатов, что иногда является более сложной задачей, чем получение самого результата.
Для электростатики на плоскости наиболее удобным математическим аппаратом служит комплексный анализ [8]. М.А. Лаврентьевым теория функций комплексного переменного рассматривалась неразрывно с физическими представлениями [30]. Развитие ТФКП на основании физических представлений позволяет создавать новые методы решения важнейших практических задач. Так методы ТФКП позволяют находить точные аналитические решения электростатических задач. Совместное применение к задачам электростатики вариационных методов и комплексного анализа позволяет разработать довольно эффективные методы решения этих задач. Разработке эффективных аналитических
Введение
методов расчёта электрических полей и численной реализация этих расчётов на конкретных примерах и посвящена данная работа.
На современном этапе развития науки становится всё более актуальным вопрос о том, как передавать такой громадный багаж знаний, накопленный веками, последующим поколениям. Всем ясно, что нужно передавать только общие концептуальные вещи, методики, потому что все частные случаи рассмотреть невозможно в принципе. Наиболее кумулятивным способом представления информации в частности в такой науке как физика является формула. Особенно большой интерес представляют формулы, отражающие наиболее общие закономерности и правила. Так классическая механика базируется на законах Ньютона, классическая электродинамика на уравнениях Максвелла и т.д. Но это примеры действительно самых общих постулатов, которых всё же не достаточно - немаловажную роль в образовании играют и более специфические, но довольно общие в своей области применимости формулы. К примерам таких формул можно отнести и некоторые формулы для решения электростатических задач на плоскости, представленные в данной работе. Важно, что на основе этих формул могут быть получены все частные решения этих задач. То есть знание теории функций комплексных переменных и умение производить элементарные алгебраические операции позволяет развернуть всё то, что содержится в этих формулах в сжатом виде - решить всевозможные конкретные задачи. Мы предлагаем внедрить их в процесс обучения студентов физических специальностей. Представляется, что методически верно знакомить студентов именно с такими довольно общими закономерностями, которые они могут развернуть для частных примеров, конкретных задач. Так для плоских электростатических задач удобно использовать комплексные переменные и соответственно представленные в данной работе формулы. Трудностей с применением, развертыванием таких формул у студентов физических специальностей возникать не должно, так как теории функций комплексных переменных на таких специальностях уделяется должное внимание.
В данной работе реализованы подходы к построению аналитической электростатики, связанные с рассмотрением в неразрывном единстве электрического поля и его источников - электрических зарядов - на всей комплексной плоскости, а не в отдельных областях её, как это часто делают в математической физике. Конкретные электростатические задачи формулируются как задачи о минимуме энергетических

Введение
функционалов, поэтому возникает необходимость разработки методов выбора пробных функций с учётом характерных особенностей задач. Предлагаются соответствующие методы для задач электростатики проводников и диэлектриков. Их суть заключается в построении на поверхности проводника базисной системы распределений зарядов, электрические поля которых ортогональны в энергетической мере. Такие распределения зарядов, упорядоченные по отличным от нуля круговым мультипольным моментам минимального порядка названы характеристическими мультиполями. Нахождение характеристических мультиполей эквивалентно построению ортогонального базиса в функциональном пространстве электрических потенциалов, источниками которых служат поверхностные заряды проводника (диэлектрика). Следует отметить, что аппарат характеристических мультиполей позволяет решить задачи для различных геометрических форм проводников и диэлектриков (круг, эллипс и т. д), находящихся во всевозможных внешних электрических полях, будь то поле точечного заряда, поле диполя, поле квадруполя, поля мультиполя, и т.п. Введение новых для теории поля понятий характеристических мультиполей и высших поляризуемостей для проводников и диэлектриков, позволяет построить конструктивные решения всевозможных задач о проводниках и диэлектриках, находящихся во внешних электрических полях.
Наиболее перспективными, на наш взгляд, приближенными методами расчета электростатических соотношений являются вариационные методы, основанные на вариационных принципах электростатики. Вариационные принципы Дирихле и Томсона являются дуальными принципами электростатики и позволяют получать оценки сверху и снизу, например, для матрицы емкостных коэффициентов. Причем для таких оценок, как правило, не требуется громоздких вычислений, получаемые зависимости имеют аналитическую форму, весьма удобную для практического использования. При разработке вариационных схем на плоскости удобно использовать комплексную форму представления электростатических соотношений [8].
Главной проблемой реализации вариационных принципов является построение пробных (аппроксимирующих) полей. Их выбор имеет свои особенности для каждого типа задач. В данной работе пробные поля выбираются в виде потенциалов, создаваемых суперпозицией точечных мультиполей или суперпозицией экранированных точечных мультиполей. Следует также отметить, что при использовании вариационных методов

2.1. Проводящий эллипс во внешних электрических ПОЛЯХ
После вычисления реальной части в правой части последнего равенства, приходим к соотношению (2.74).
Понятие об эллипсе сходимости естественным образом возникает при рассмотрении аналитического продолжения комплексного потенциала (2.53) за пределы эллипса в форме ряда, определенного правой частью соотношения (2.53), то есть при решении задачи об области сходимости этого ряда. Обращаясь к уравнению связи полиномов Чебышева с функцией (7(5) (2), видим, что ряд (2.53) будет сходиться, если сходится ряд
представляющий собой степенной ряд по (7(5), очевидно сходящийся при
софокусным с рассматриваемым здесь нами. Таким образом, проведя через точку 5 эллипс, софокусный с основным, получим область сходимости ряда (2.53), то есть эллипс сходимости этого ряда. Внешний конформный радиус этого эллипса будет равен |(7(5)|.
Чтобы найти эллипс сходимости ряда
~ (2.76)

/(*) = Е Ьку—[Тк(г/с)
оо гЛ
(2.77)
в общем случае нужно перейти к степенному ряда

Е ЬкСк(г),

определить его радиус сходимости в комплексной плоскости (7,
(2.78)
а затем установить эллипс сходимости
ІОДІ <Дс.
(2.79)