Метод орбит в задачах квантовой статистической механики и интегрирование квантовых уравнений на группах Ли

• Автор: Михеев, Виталий Викторович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 107 с. : ил

Оглавление
Введение

1 Вводные сведения из теории К—орбит

1 Структура орбит коприсоединенеого

представления

2 Канонические координаты на орбитах коприсоединенного представления и Л-представление алгебр Ли

3 Спектры операторов Казимира и классификация однородных пространств

4 Гармонический анализ на группах Ли

2 Применение метода орбит к классификации однородных пространств и интегрированию дифференциальных уравнений на группах Ли
5 Классификация 4-мерных однородных пространств с группой преобразований Пуанкаре и де Ситтера

6 Интегрирование квантовых уравнений на группах Ли

7 Интегрирование квантового асимметричного ротатора и его квазиклассический спектр
3 Интегрирование уравнения Клейна-Фока на четырехмерных группах Ли и задачи квантовой статистической механики
8 Космологические модели на четырехмерных группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками

8.1 Классификация решений уравнения Эйнштейна на многообразиях четырехмерных групп Ли
9 Интегрирование уравнения Клейна-Фока в пространствах Эйнштейна на четырехмерных группах Ли
10 Термодинамика некомпактных унимодулярных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками и перенормировка тензора энергии-импульса
11 Высокотемпературная асимптотика матрицы плотности на некомпактных унимодулярных группах Ли
Заключение
Библиография

Введение
В современной теоретической физике перед исследователем встает ряд задач, решение которых требует построения точного решения линейного дифференциального уравнения. К таким задачам относятся: интегрирование классических и квантовых гамильтоновых систем, задачи квантовой статистической механики, задачи квантовой теории поля в искривленных пространствах.
В настоящее время основным методом решения линейных дифференциальных уравнений является метод разделения переменных (см. [1] и цитированную там литературу), применяющийся в том случае, когда оператор уравнения допускает определенный набор коммутирующих операторов симметрии. Метод разделения переменных окончательно сложился в работах В.Н. Шаповалова [2], [3], [4], сформулировавшего необходимое и достаточное условие для разделения переменных.
Задачи, требующие для своего решения интегрирования дифференциальных уравнений, которые рассматриваются в настоящей работе, условно можно разделить на два типа.
К первому типу задач относятся интегрирование класических и квантовых гамильтоновых систем, интегрирование уравнения Клейна-Фока и другие, когда задачу в принципе можно решить методом разделения переменных и построить базис решений, найдя полный коммутативный набор операторов. Однако, если задача не допускает разделения переменных, то решение ее сталкивается с непреодолимыми трудностями. Кроме этого, в случае, если рассматриваемое в задаче пространство не покрывается одной картой, возникает сложная задача построения решений в разных картах и последующей сшивки решений в областях перекрытия карт атласа.

Таким образом, набор из независимых тождеств Г(/) на однородном пространстве М состоит из функций
Г(Ц = {*?">(/), а = 1,...,2гм + т-гм-, К'^ЧГ), ц = 1,..,,гм};
(3.17)
%м = 2«м + Г* - Г(вм) + Гм < 2«М + У- (3.18)
и = {/€ £* | Г(/) = 0}.
— Т Т1 — V
тах{и — 2т, 0} < гд/ < « — т, тах{— т, 0} < «м < —-—. (3.19)

В качестве примера упомянем конформную группу К1,3 « 50(2,4) (тг = гПт К1,3 = 15, г = тб/С1’3 = 3), действующую на пространстве Мин-ковского Я1,3 (т = 4). В этом случае неравенства (3.19) принимают вид: 7 < гм < И, 2 < «м < 6.
Хотя неравенства (3.19) связывают между собой степень вырождения, индекс, размерность однородного пространства с размерностью и индексом группы Ли, жесткой связи между этими величинами не существует, то есть для одной и той же группы преобразований, действующей транзитивно на пространствах одинаковой размерности, степени вырождения и индексы этих однородных пространств могут отличаться.
Ниже, в параграфе посвященном тождествам на однородных пространствах с группой преобразований Пуанкаре и де Ситтера, будут обсуждаться вопросы более тонкого различия однородных пространств одинаковой размерности с одинаковыми индексами и степенями вырождения.
Каждому однородному пространству М сопоставим целое неотрицательное число
с!(М) = т + гм ~ $м - ^{п + г), (3.20)
которое мы будем называть дефектом однородного пространства. Это число играет важную роль в теории гармонического анализа на однородных пространствах и в некоммутативной редукции дифференциальных уравнений на однородных пространствах. В частности, можно утверждать, что при д(М) > 0 алгебра инвариантных дифференциальных операторов на однородном пространстве некоммутативна.