Построение точных решений некоторых двумерных интегрируемых нелинейных уравнений методом Ә-одевания

• Автор: Формусатик, Игорь Борисович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 106 с.

Содержание
1 Введение

1.1 Многомерные интегрируеые нелинейные уравнения и подходы к их решению

1.2 Основные ингредиенты метода 9-одевания

1.3 Обзор содержания диссертации

1.4 Актуальность темы, цель работы; основные результаты, выносимые на защиту

1.5 Научная новизна и практическая ценность, апробация и публикации

2 Точные рациональные решения уравнения Нижника-Веселова-Новикова. Случай простых полюсов

2.1 Применение схемы метода 9-одевания к уравнению ИУИ

2.2 Рациональные решения уравнения ИУИ при а

2.3 Рациональные решения уравнения ИУИ в случае

а = г
3 Новые точные решения двумерного интегрируемого уравнения синус-Гордон, генерируемые нетривиальными сингулярными границами.
3.1 Точные решения одномерного уравнения Клейна-
Гордона

3.2 Локализованные решения двумерного уравнения синус-Гордон (20801), генерируемые нетривиальными сингулярными границами
4 Точные рациональные решения уравнения Веселова-Новикова. Случай кратных полюсов
4.1 Рациональные несингулярные решения
с полюсами второго порядка уравнения Веселова-Новикова
4.2 Рациональные сингулярные решения с полюсами второго порядка уравнения Веселова-Новикова
5 Заключение

1 Введение
Основным инструментом описания и исследования физических явлений являются линейные и нелинейные дифференциальные уравнения. Хорошо известна фундаментальная роль линейных дифференциальных уравнений, но не менее важны и нелинейные уравнения. Так уравнения теории тяготения Эйнштейна, гидродинамические уравнения Эйлера и Навье-Стокса, уравнения физики элементарных частиц и т.д. являются нелинейными уравнениями. Развитие методов решения и анализа дифференциальных уравнений, в особенности нелинейных уравнений, представляет одну из важнейших задач теоретической и математической физики.
Немногим более тридцати лет назад был открыт метод обратной задачи рассеяния. Ключевая идея, лежащая в основе этого метода - сведение задачи точного интегрирования нелинейных уравнений к решению ряда вспомогательных линейных задач, оказалась необычайно плодотворной. Как оказалось, метод обратной задачи рассеяния применим к широким классам обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, нелинейных уравнений в частных производных, разностных, интегро-дифференциальных и других уравнений. Многие из нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи, такие как уравнение Кортевега де Фриза, нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение синус-Гордон, уравнение одномерного ферромагнетика Гейзенберга, уравнение резонансного волнового взаимодействия, уравнение Кадомцева-Петвиашви-ли и другие имеют большую степень универсальности и встречаются в самых разнообразных областях физики.

конечности (1.43):
и(€,г1,г) = и{€,г1,г)-е, и{^г},г) -> о.
£ 14 —^оо
Следуя изложенной в Главе 1 схеме метода 5-одевания, выберем величины /&(А) в (1.4), применительно к уравнению (2.1), в следующей форме:
1 = *А, Ь = —Ь — ^
Операторы "длинных" производных (1.7) в данном случае задаются выражениями:
7Л = — 5^ + В2 = = дгц — г—,

Оз — .С^ = 5^ + г(кцА3 — /с 2дд)- (2-3)
Ядро Л 5-проблемы (1.1) в соответствии с (1.5) имеет вид:
Я(р, р; А, А; ф ту, £) = Д0(р, р; А, А)еащ (Д(р) - Д(А)), (2.4)
где До - произвольная функция и

Д(А) := г'А(£ - ф) - г-(ту - 770) + гфцА3 - ^с2дд)(^ - £0). (2.5)
Продолжая следовать общей схеме метода 5-одевания, используя производные (2.3), строим линейные операторы (1.9), удовлетворяющие условиям (1.10) и (1.11). В нашем случае достаточно построить два таких оператора
Ьгх — (А-^2 + УН + Уч.В 2 + 11)х — О, (2-6)
7/2% = (кDз+KlI)JrKJ2D'2JrWlDJгУ2D^JrVзDl-sгWAD2JcW')X ~ О-

(кцА3 - ^2ду)- (2.2)