Применение конформных преобразований к расчетам распределений токов, температур и магнитных полей двумерных проводников

• Автор: Герасименко, Татьяна Николаевна
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 144 с. : ил.

Оглавление
1 Введение
1.1 Постановка задачи
1.2 Расчет распределений тока и идея метода конформных преобразований
1.3 Температурные распределения и магнитные поля
1.4 Цели и структура диссертации
2 Распределение плотности тока в плоских проводниках
2.1 Построение распределений комплексного потенциала
2.1.1 Линии тока в составных областях
2.1.2 Проводники, изогнутые под различными углами
2.2 Распределения тока
3 Пространственное распределение температуры в плоских
проводниках
3.1 Распределение температуры в тонком проводящем диске
3.1.1 Предельные случаи
3.2 Распределения температуры в тонких проводниках сложной
формы
3.2.1 Система уравнений метода конечных элементов
3.2.2 Техническая реализация
3.3 Уравнение теплопроводности для двумерных проводников в
безразмерных величинах
3.4 Сравнение с экспериментом
4 Магнитные поля, создаваемые плоскими проводниками
4.1 Общий подход
4.2 Управление магнитными микрогранулами

4.2.1 Анализ концентратора на основе толстопленочного ферромагнитного параллелепипеда
4.2.2 Движение магнитной микрогранулы в поле постоянного прямоугольного магнита
4.3 Тестирование печатных плат
5 Заключение
Благодарности автора
Приложения
А Вывод уравнения теплопроводности для двумерного проводника
Б Вывод асимптотики распределения температуры в тонком
диске в отсутствие теплоотдачи с поверхности
В Вывод асимптотики распределения температуры в тонком
диске в случае преобладания теплоотдачи с поверхности
Г Регуляризованное решение для поля однородно намагниченного прямоугольного параллелепипеда
Литература

Глава 1. Введение
1.1. Постановка задачи
Тонкопленочные провода и резисторы являются важными элементами многих современных устройств [1]. В первую очередь, они повсеместно используются в интегральных микросхемах, без которых на сегодняшний день немыслимо существование многих приборов. Также получают все более широкое распространение так называемые лаборатории на чипе (1аЬ-оп-а-сЫр) — миниатюрные приборы, позволяющие осуществлять несколько стадий биохимических процессов на одном чипе площадью порядка нескольких квадратных миллиметров [2,3]. Все манипуляции в таких устройствах, как правило, ведутся с помощью электрических или магнитных полей, создаваемых миниатюрными проводами или магнитами.
Обладая активным сопротивлением, проводники и резисторы неизбежно нагреваются, причем нагрев может происходить неравномерно по поверхности проводника. Учет этого нагрева является серьезной проблемой современной микроэлектроники [4]. Повышение температуры может приводить к размягчению поверхности проводника и нарушению его формы или к ускорению роста оксидных пленок на его поверхности и, как следствие, к изменению его свойств [5]. Знание распределения плотности тока и температуры по поверхности проводника крайне важно при работе с проводниками наноразмеров, в которых большие плотности тока и высокие температуры могут приводить к электромиграции материала проводников и, как следствие, к их разрушению и сбоям в работе схемы [6].
Отсюда вытекает естественная необходимость детального исследования некоторых свойств проводников, которые в силу их малой по сравнению с линейными размерами толщиной можно считать двумерными.
На сегодняшний день задачи о распределении токов, температур и магнитных полей решаются в основном численно с использованием готовых

Для того, чтобы выделить вещественную и мнимую части в первом слагаемом, числитель и знаменатель были записаны в показательной форме:
у/Гё-г + Ь2 = пе1,
у/1 - С + гуД + 62 = 'Гге2,

П = г2 = у/1 + Ь2,

С учетом этого первое слагаемое в (2.21) можно записать в виде:
, (у/1 - С - гуД + Ь2 ! П , ( г, /С + Ь2
1п — т== = 1п — + г(1 - УГ + г + 62у 2 У1-
Кроме того, поскольку
ъДГД < Ь < у/Ть2,
второе слагаемое в (2.21) примет вид:
1п Астщ+ = 1п Аутщ+ у-ЩП
бу/гд-уёт&у уу/ёт-бч/т;
Окончательно
«о _ агс1в. _ <* ь ( ДЦ+ДТьЛ +,
- V1-« 1 УУЛД-ЩТ£у

Аналогичным образом, для г(—£) было получено
г(_{) _ агс1§ (КЕ1±
7Г V 1 + С 7Г Убл/Г+Д - л/62 - С
Разность вещественных частей Ке[гг(—)] — Яе[,г(£)] = к, разность мнимых частей дает искомое значение Ау:
Ау = 1т[г(-0] - 1т[г(0],